Distanza sfera che colpisce la linea orizzontale

Distanza sfera che colpisce la linea orizzontale

Dinamica dei moti rotatori

Distanza sfera che colpisce la linea orizzontale

Dinamica dei moti rotatori

Una sfera omogenea inizialmente in quiete parte dall'estremo superiore del profilo di figura e rotola senza scivolare fino a rizzar via dall'estremo inferiore destro. Se H = 40 m e h = 20 m e il profilo è orizzontale nella parte terminale destra, calcolare a quale distanza dal punto A la sfera colpisce la linea orizzontale di base.

Nella posizione di partenza B, la sfera è inizialmente in quiete, per cui K₀ = 0.

D'altra parte poniamo U₀ = 0. In fondo al profilo, K = ¹/₂ mv² + ¹/₂ Iω², dove v è la velocità del centro di massa e ω è la velocità angolare della sfera in C.

Si ha, essendo ω = ^v/_r ed I = ²/₅ mr² (se r è il raggio della sfera): K = ¹/₂ mv² + ¹/₂ ²/₅ mr^{2 v2}/_r² = ⁷/₁₀ mv².

Ne deriva, poiché il centro di massa della sfera, in C, è sceso di (H-h) rispetto alla posizione iniziale, che è U = -mg (H-h).

Dalla K₀ + U₀ = K + U si ha ⁷/₁₀ mv² - mg (H-h) = 0, da cui v = √¹⁰/₇ g (H-h) è la velocità del centro di massa, quando la sfera abbandona il profilo; v è diretta orizzontalmente nel punto C.

Abbiamo, così, da determinare a quale distanza dal punto A la sfera, che parte da un'altezza h sulla verticale di A, con velocità orizzontale v, colpisce il piano. Sul corpo agisce l'accelerazione di gravità, che è diretta verticalmente.

Si ha a = -g => W = gt + v da cui