La sbarra e il cavo poco resistente

La sbarra e il cavo poco resistente

Statica

La sbarra e il cavo poco resistente

Statica

Una sbarra omogenea di massa M e lunghezza AB = ℓ è incernierata in A ad una parete verticale e viene mantenuta in posizione orizzontale da un cavo inestensibile fissato alla parete e formante con la sbarra un angolo θ₀. All'estremo B della sbarra viene appeso un corpo di massa m (Figura 8.6). Sapendo che la tensione massima che il cavo può sopportare è T_M = 4 Mg, determinare la massa limite m_L che si può appendere in B prima che il cavo si spezzi. Nel caso che il corpo da appendere abbia massa 2m_L, quale deve essere l'angolo minimo θ_M tra sbarra e cavo affinché quest'ultimo non si spezzi? Verificare numericamente i risultati ottenuti utilizzando i seguenti dati: M = 50 Kg; θ₀ = 30°.

Determinazione della tensione del cavo

Per determinare la tensione T del cavo, è sufficiente scrivere l'equazione dell’equilibrio dei momenti, scegliendo come centro di rotazione il punto A in modo da eliminare dal calcolo la forza di reazione della cerniera. Dopo aver osservato che i bracci delle forze peso Mg ed mg sono rispettivamente ℓ/2 ed ℓ, mentre quello della tensione è ℓ senθ₀, rispettando la solita convenzione sui segni, possiamo scrivere:

T ℓ senθ₀ – M g (ℓ/2) – m g ℓ = 0

Semplificando ℓ e ricavando T otteniamo:

T = -g (M + 2 m)/(2senθ₀) (1)

Massa limite

Ponendo nella (1) al posto di T il valore massimo T_M = 4 Mg ed al posto di m il valore limite m_L, deduciamo l'equazione:

4 M g = g (M + 2 m_L)/(2 senθ₀)

che semplificata e risolta per m_L, fornisce il risultato:

m_L = M/2 (8 senθ₀ – 1) (2)

Angolo minimo tra sbarra e cavo

Per rispondere all'ultima domanda del testo, basta porre nella (1) θ₀ = θ_M, T = 4 Mg ed m = 2 m_L = M (8 senθ₀ – 1) ottenendo così l'equazione:

4 M g = g/[2 senθ_M] [M + 2 M (8 senθ₀ – 1)] (3)

Dalla (3), dopo qualche passaggio e semplificazione, è possibile ricavare, dapprima senθ_M e poi θ_M ottenendo:

θ_M = arcsen [2 senθ₀ – (1/8)] (4)

Ponendo infine M = 50 Kg e θ₀ = 30°, la (2) e la (4) forniscono rispettivamente i seguenti risultati numerici:

m_L = 50/2 [8 · 1/2 – 1] = 75 Kg