La sbarra dondolante

La sbarra dondolante

Dinamica rotazionale

La sbarra dondolante

Dinamica rotazionale

Una sbarra omogenea di lunghezza ℓ = 1,2 m e massa m, è appesa per un estremo nel punto A di una parete verticale ed è libera di ruotare intorno all’asse passante per A (Figura 7.7.1) perpendicolare al piano della parete. Calcolare il periodo T della sbarra quando essa viene fatta oscillare per piccoli angoli θ intorno all’asse di sospensione. [Nota: il momento d’inerzia della sbarra, rispetto all’asse, sia I = (1/3) m l²]

Come è noto dalla teoria, un corpo esteso che oscilla intorno ad un centro di sospensione prende il nome di pendolo composto. Paragoniamo allora il moto della sbarra a quello di un ipotetico pendolo semplice di lunghezza ℓ₀, avente massa pendolare puntiforme uguale a quella della sbarra ed avente un identico periodo di oscillazione T (Figura 7.7.2). In base a tale ipotesi, il centro di massa G della sbarra e l’estremo libero di ℓ₀ dovranno avere la medesima accelerazione angolare α.

Detto M il momento meccanico della forza peso in G (punto nel quale si immagina concentrata tutta la massa della sbarra) rispetto al punto A, osservato che il vettore AG ha modulo ℓ/2 (essendo la sbarra omogenea) e detto θ l’angolo di apertura delle oscillazioni (Figura 7.7.1), possiamo scrivere:

M = AG ∧ m g

e quindi:

M = (ℓ/2) m g senθ

Ricordando infine la nota equazione della dinamica rotazionale: M = I α, otterremo nei due casi:

(ℓ/2) m g senθ = I α   (1)

ℓ₀ m g senθ = m ℓ² α   (2)

avendo indicato con α la medesima accelerazione angolare dei due pendoli e considerando che il momento d’inerzia della massa puntiforme è semplicemente mℓ². Ricavando α dalla (1) e sostituendo il suo valore nella (2), dopo opportune semplificazioni, si trova:

ℓ₀ = 2I / ℓ m   (3)

I fisici chiamano “ℓ₀” lunghezza ridotta del pendolo composto. Ricordando infine che il periodo T del pendolo semplice è espresso da:

T = 2 π √ ( ℓ₀ / g )

utilizzando la (3) si deduce:

T = 2 π √ ( 2I / ℓ m g )   (4)

Sostituendo nella (4) l’espressione del momento d’inerzia I fornita dal testo, possiamo concludere che:

T = 2 π √ ( 2ℓ / 3 g )