Integrali impropri da esame

Integrali impropri

1. ∫₀^∞ e^x/_{e^2x - 1} dx
2. ∫₀^∞ e^-x sin (e^-x) dx
3. ∫₁^∞ 1/_{x^1/2 ln(x)} dx
4. ∫₀¹ x e^-2x2 dx
5. ∫_-1¹ x/_{x (x+1)} dx
6. ∫₁^∞ ln(x+1)/_x² dx
7. ∫₀¹ dx

Integrali impropri

1. ∫₁^∞ e^x⁄_{e^2x - 1} dx
2. ∫₀^∞ e^-x sin (e^-x) dx
3. ∫₀^∞ 1/√√x dx
4. ∫₀^∞ x e^-2x2 dx
5. ∫_-1⁰ 0.6x/⁄_x(x+1) dx
6. ∫₁^∞ ln(x+1)/x² dx
7. ∫₀¹ 1/√√(1-x²) dx

Integrali impropri

1. ^∞∫₁ e^x/_{e^2x - 1} dx
2. ^∞∫₀ e^-x sin (e^-x) dx
3. ^∞∫₁ √_x / √_{x - 1} dx
4. ^∞∫₀ e^-2x2 dx
5. ^∞∫₀ 1/_{x(x + 1)}
6. ^∞∫₀ ln (x + 1) / x²
7. ^∞∫₀ 1/√_{1 - 2x²} dx
8. ^∞∫₁ dx / (x(1 + 1/x))
9. ^∞∫₁ ln(x) / (x(1 + 1/x)²) dx
10. ^∞∫₁ 1/x² dx

1

(1) ^∞∫₁ e^x/_{e^2x - 1} dx ∫ 1/_{t² - 1} dt => 1/_2a ln∣x - a / x + a∣ + e^1/2 ln ∣e^x - 1/_{e^x + 1}∣

lim _h→∞∫^h₁ 1/2 ln ∣e^x - 1/_{e^x + 1}∣ => 1/2 ln (1) - 1/2 ln∣e - 1/_{e + 1}∣ => -1/2 ln ∣e - 1/_{e + 1}∣

2

(2) ^∞∫₀ e^-x sen (e^-x) dx ∫^∞__t sen (t) ^(-1/t) dt-sen (t) dt = cos (t) = cos (e^-x) = cos (1/e^x)

lim _h→∞∫^h₀ cos (1/e^x) => cos (0) - cos (1/e⁰) => 1 - cos (1)

t = e^-x -x = ln t x = - ln t dx = - 1/_t dt

3

3 ∫₀¹ x 1-x² dx t = √1-x² dt = x 1-x² dx - ∫ 1-x² dx

lim_h→1 ∫₀^h -√1-x² => 0 - (-1) = 1

4

4 ∫_-∞^∞ x e^-x² dx t = 2x² dt = 4x dx dx = 1 4x dt

1/4 ∫_-∞^∞ x e^t 1x dx 1/4 (-1e^t) -> -1/4 e^2x²

lim_h→-∞ ∫_-1^h -1/4x² x² => -1/4x² + 0 -> -1/4x²

5

5 ∫_-∞^∞ dx x(x+1) dx -> Ax + B = A(x) + A + Bx x(x+1) {A+B=0 A = 1 B = -1

4 = 1∫ 1x dx - ∫ 1(x+1) dx => ln|x| - ln|x+1|

lim_h→∞∫₁^h ln|x| - ln|x+1| -> 0 - (-ln2) => ln(2)

6

6 ∫₁^∞ ln(x+1) x² dx - ln(x+1) x + ∫ 1x(x+1) dx - ln(x+1) x + ln|x| - ln|x+1|

lim_h→∞∫₁^h ln(x+1) x + ln|x| - ln|x+1| => 0 - (-ln2+0-ln2) -> ln(4)

f: ln(x+1) f': 1x+1 g': 1x² g: - 1x

7

7 ∫₀^1/2 1/√(1−2x) dx → ∫ 1/√(1−2x) dx

t = √(1−2x) dt = -1/√(1−2x) dx dx = -√(1−2x) dt

∫ 1/t ⋅ -t dt - ∫ -t dt ∫ -√(1−2x)

lim_t→1/√2 ∫₀^t -√(1−2x) = -0 - (-1) = 1

8

8 ∫₀¹ 1/((x−4)√x) dx

t = √x x = t² dx = 2t dt

∫₁² 1/(t²−4) 2t dt 2 ∫ 1/(t²−4) dt ⇒ 2 [1/4 ln|√x−2/√x+2|] − 1/2 ln|√x−2/√x+2|

lim_t→0 1/2 ∫₀¹ ln|√x−2√x+2| ⇒ 1/2 ln(1/3)

9

9 ∫₀^+∞ ln(x)/(x+1)² dx ⇒ ∫ ln(t+1)/t² dt

t = x+1 dt = dx f(x+1) f' 1/t ⋅ 1/t 1 g' 1/t ⋅ 1/2-ln(t+1)/t + ∫ 1/(t−1)+ dA

∫ A/t−1 ⋅ B/t ⇒ x+1/t−1 +B/t(t−1) ⇒ ∫ 1/t−1 dA − ∫ 1/t dA

-ln(t+1)/t + ln|x| − ln|x+1| ⇒ -ln(x)/x+1 + ln|x| − ln|x+1|

lim_t→∞ ∫₁⁰ -ln(x)/x+1 + ln|x| − ln|x+1| ⇒ 0 − (-ln2) ⇒ ln(2)