Geometria - Esercitazione

Complementi di geometria

1. Autovettore dell'endomorfismo F

Sia F l'endomorfismo di R3 così definito: F(x,y,z) = (0,y,2x-y+2z). Dire per quali valori di h ∈ R il vettore v = (0,1,h) è autovettore per F.

2. Base di autovettori di R3

Mostrare, se esiste, una base di R3 costituita da autovettori rispetto all'endomorfismo F, indicando brevemente il procedimento seguito. (Vedi sopra)

3. Endomorfismo G di R3

Sia G l'endomorfismo di R3 tale che:

• G(1,0,1) = (1,-1,-2)
• G(0,1,0) = (1,1,0)
• G(0,1,1) = (2,0,2)

Determinare una base di ker(G).

Determinare il vettore G(1,1,1).

Determinare gli autovalori di G.

4. Proprietà dell'endomorfismo F

Sia F l'endomorfismo di R3 così definito: F(x,y,z) = (x+y-z,-hx+2hy-hz,-3x+3y-z).

(1,1,1) appartiene ad im(F) per quali valori di h?

F è iniettiva per quali valori di h?

(1,1,0) è autovettore per quali valori di h?

5. Base di autovettori per h = 2

Si ponga h = 2 e si esibisca, se esiste, una base di R3 costituita da autovettori rispetto all'endomorfismo F con h = 2, indicando il procedimento. (Vedi sopra)

6. Endomorfismo G e autovalori

Sia G l'endomorfismo di R3 tale che:

• G(1,0,1) = (1,1,2)
• G(0,1,0) = (1,1,0)
• G(0,1,1) = (2,2,2)

Determinare una base di ker(G).

Dire quali dei seguenti scalari sono autovalori per G: k = 0, k = 1, k = -1, k = 2, k = -2.

7. Matrice associata a G

Determinare la matrice associata a G rispetto alla base canonica. (Vedi sopra)

8. Endomorfismo F di R4

Sia F l'endomorfismo di R4 così definito: F(x,y,z,t) = (-x,y+z,y+z,-t).

Determinare gli autovalori e gli autovettori di F e dire se F è diagonalizzabile.