Appunti Geometria analitica (Esercitazione)

Name: Appunti Geometria analitica (Esercitazione)
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Author: andrea.boventi

Revisionato il 17/07/2026

di andrea.boventi

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Appunti di Esercitazione di Geometria del corso di Algebra lineare e Geometria analitica tenuto dal prof. Tommaso Traetta nell'anno accademico 2021-2022 basati su appunti personali del publisher …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pasotti Anita

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2021-2022

62 pagine

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Estratto del documento

Geometria e equazioni parametriche

Introduzione e concetti di base

Geometria EseA₂ (K) → RA := {O; B (v₁, v₂)}. Piano α: x = x_p + t v₁ + y v₂. Osserviamo che (x_p, y_p) rappresentano le coordinate di P → P: (x_p, y_p).

PQ: (x_p, y_p) con Q: (x_q, y_q) → PQ = (x_q - x_p) v₁ + (y_q - y_p) v₂. PQ = (x_p - x_p; y_q - y_p).

[P, V₂] = α e A₂ (K) ∞ T_V(P). Q: V ⊂ V₂⁰. Q₁ = fascio di P tramite V. V₁, v₂ ∈ L(Y). l: (x_p, y_p), v₁, &jmath; L(w).

z: (x = x_p + lt).
y = y_p + mt, t ∞ ℝ. z: ax + by + c = 0 ({a, b}) ∉ {(0, 0)}. Lt, p.d.c. (-b: a).

Determinare equazioni parametriche e cartesiane delle rette

1. Rette passanti per il punto (-3, 1) con direttive:

Metodo 1:
x: x = 3 + 2t
y: y = 1 + t → t = y - 1
Metodo 2:
x = 3 + 2y - 2
x - 3 + 2y - z → (a b): (-b: a), (2, 1)

Piano e coordinate

Piano &sub>P&sub> → RA = {O; B(v₁, v₂)} riferimento affine
P = P(x_p, y_p) rappresenta le coordinate di P
P(x_p, y_p) con Q = (x_q, y_q)
P₁, V₂ = E₁ ∈ Α_(k)
Q = coordinata di riferimento

l: x = x_p + lt
y = y_p + mt, t ∈ ℝ
l: ax + by + c = 0, (a, b) ≠ (0, 0)
L₀ p₀ = (x_p, y_p)

2. Determinare equazioni parametriche e cartesiane delle seguenti rette:

Passante per (-3, 1)
Metodo 1:
x: x = -3 + 2t
y: = 1 + t
y: t = y - 1
Metodo 2:
-xp y-ypx2 | | = 0
lp mr: x+3 y-t y-2 1
(x+3) - (2y-2) = 0 → x-2y+5=0
Esprimiamo x, y e parametri t:
{ x = 5 + 2t
{ y = t → passaggio da eq. cartesiana a parametrica
3) Determinare s passante per P(2, 5) e Q (3, 1)

Metodi per determinare le rette

Metodo 1):
PQ: (x_q-x_p; y_q-y_p; y_q-y_p) * (x-t; z) = p e t
S, { x = 2 + t { y = ty = t - 2t(x-2)
S: 2x + y-5 = 0
Metodo 2):
S, | x-2 y-x | 1 -2 | = 0
-2x +(...)(y-1) = 0
S, x y | 2x + y-5 = 0
Metodo 3):
S: | x y 1|
xp yp 1 | = 0
| xq yq 1 { x y 1 = 0 { 2 1 1 { 3 ..1 1
(+x) +3y - 2*3 - X -2y = 0
2x+y-5=0

La retta r, punto C e fascicolazione

La retta r, per xe punto C (0;z) e spazio dei fascicolazionev r. 2(v) dove v = i v₁ + 3v₂.
P:x - 0 = + ty - z + 3tt : x
P':3x - y - z = 0
t : xp : 3x - y - z = 0
L p (4,3)

Esercizi vari

Data re di ep: 3x - 2y + z = 0 determinare un ep parametrico di x.

Metodo 1):
y = tx: - passa per (3;0)
cosi:x = ²/₃ te p de P(3;4)
Metodo 2):
i.c dp x = [(1-b), a] = [(2,3)]
bisogna determinare un punto di passaggio:
com x + 0 → (0; ¹/₂)
→ Ri:x : 0 + 2ty : - ¹/₂ + 3t

Stabilire se le seguenti rette sono parallele

r:x = 3t_com.tel
y = 2 - 4t
so x:x + 4 + ¹/₄ ty: - 1 - 2 t

com t elecpdr=(c₄;4) cpds=(c₃;2) → Sono proporzionali → l//s

Nota bene: Rette parallele sono coincidenti o distinte. Prendiamo il punto di x e vediamo se appartiene a s.
→ S p c S, poiché r s, x coincide con s. P: (3;2)=→ {x = 4 + t; t = -2; y = -1 + 2t}.
2.t = -3 = t = -³⁄₂ NO r e s sono DISTINTE.

Stabilire se sono parallele:

r: {x = -3 + t; s: -2x + y = - 2; y = -1}

cpdr: [(3;0)] ≠ cpds: [(-b;a1)=[I(-1;2)] → r ≠ s

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