Forze bidimensionali

Forze bidimensionali

La conservazione dell’energia

Forze bidimensionali

La conservazione dell'energia

L'energia potenziale di un campo di forze bidimensionali è data da

U(x,y) = 1/2 K(x²+y²)

• A) Ricavare F_x e F_y e rappresentare vettorialmente la forza in ogni punto in funzione delle sue coordinate cartesiane x e y.
• B) Ricavare F_r e F_θ e rappresentare vettorialmente la forza in ogni punto in funzione delle coordinate polari r e θ del punto.
• C) Si può pensare a un modello fisico di tale forza?

A) Sistemi conservativi a due dimensioni

A) Per sistemi conservativi a due dimensioni si ha: F(r) = -i du/dx - j du/dy e poiché F(r) = -i F_x + j F_y, si ha F_x = -du/dx = -Kx    F_y = -du/dy = -Ky.

La forza F ha modulo F(r) = √(F_x² + F_y²) = K · √(x² + y²) e poiché √(x² + y²) = r si ha F(r) = Kr.

Inoltre F_y/F_x = y/x. Per cui dalla figura appare chiaro che la forza è diretta radialmente verso l'interno.

B) Componenti in coordinate polari

B) Da come è disposta la forza (vedi figura) si ha F_r = -Kr, mentre F_y = 0.

Infatti dalla definizione si danno le coordinate polari di un punto P attraverso la sua distanza dall'origine r e O e attraverso l'angolo θ formato dalla retta OP e dall'asse x.

Si definisce allora la componente F_r in un punto come la componente secondo la retta r che unisce quel punto con l'origine e la componente F_θ nello stesso punto come la componente secondo la retta passante per quel punto e perpendicolare alla F.