Forze bidimensionali

Forze bidimensionali

La conservazione dell’energia

Forze bidimensionali

La conservazione dell’energia

L'energia potenziale di un campo di forze bidimensionale è data da

U(x,y) = 1/2K(x²+y²)

1. Ricavare F_x e F_y e rappresentare vettorialmente la forza in ogni punto in funzione delle sue coordinate cartesiane x e y.
2. Ricavare F_r e F_ϑ e rappresentare vettorialmente la forza in ogni punto in funzione delle coordinate polari r e ϑ del punto.
3. Si può pensare a un modello fisico di tale forza?

a) Per sistemi conservativi a due dimensioni si ha: F(r) = -i _∂u/_∂x - j _∂u/_∂y e poiché F(r) = -i _Fx + j _Fy si ha _Fx = -_∂u/_∂x = -kr_{x Fy} = _∂u/_∂y = -kr_y la forza F ha modulo F(r) = √(_Fx² + _Fy²) = K √_rx² + _ry² e poiché √_rx² + _ry² = r si ha F(r) = kr. Inoltre _Fy = - _y/_r. Sei cui dal la figura appare chiaro che la forza è diretta radialmente verso l'interno.

b) Da come è disposta la forza (vedi figura) si ha _Fx = -kr, mentre _Fy = 0. Infatti dalla definizione si danno le coordinate polari di un punto P attraverso la sua distanza dall'origine O e attraverso l'angolo θ formato dalla retta OP e dall'asse x. Si definisce allora la componente _Fr in un punto come la componente secondo la retta ȓ che unisce quel punto con l'origine e la componente _Fθ nello stesso punto come la componente secondo la retta passante per quel punto e perpendicolare alla ȓ.