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Domande sui sottospazi vettoriali

1. Quale dei seguenti sottoinsiemi di ℝ³ è un sottospazio vettoriale di ℝ³?

   • S₁ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : (x - 1)(y + 2)z = 0}
   • S₂ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : 2x - y = 3x + z = 0}
   • S₃ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x² = y}
   • S₄ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x - 2y + 3z - 2 = 0}

Spazio vettoriale e sistemi di generatori

2. Lo spazio vettoriale R⁴:

   • Ammette sistemi di generatori costituiti da 6 vettori.
   • Ammette una base costituita da 6 vettori.
   • È generato da qualsiasi insieme di 4 vettori non nulli.
   • Non contiene sottospazi vettoriali di dimensione 1.

Vettori e basi

3. I vettori (1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 0, -1) dello spazio vettoriale R³:

   • Sono linearmente dipendenti.
   • Formano una base di R³.
   • Generano un sottospazio vettoriale di R³ avente dimensione 2.
   • Costituiscono una base ortogonale di R³.

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

1. Siano dati due vettori non proporzionali v₁, v₂ ∈ ℜ³. Si consideri un terzo vettore v ∈ ℜ³. Allora:

   • Se v ∈ L(v₁, v₂), allora i tre vettori v₁, v₂, v sono linearmente indipendenti.
   • v ∈ L(v₁, v₂) se e solo se v è il vettore nullo di ℜ³.
   • Se v è non nullo, allora v ∈ L(v₁, v₂).
   • Se v ∈ L(v₁, v₂), allora i tre vettori v₁, v₂, v sono linearmente dipendenti.

Vettori nello spazio vettoriale ℜ³

5. Nello spazio vettoriale ℜ³ si considerino i vettori v₁ = ⟨2, − 3/2, 1⟩, v₂ = ⟨3/5, 4/5, 0⟩, v₃ = ⟨8, −6, −25⟩. Allora:

   • I vettori v₁, v₂, v₃ generano un sottospazio di ℜ³ avente dimensione 2.
   • I vettori restanti v₁, v₂, v₃ costituiscono una base ortonormale di ℜ³.
   • Non è possibile esprimere il vettore 5v₃/3v₃ come combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, v₃.
   • I vettori v₁, v₂, v₃ sono linearmente dipendenti.

Matrici e operazioni

1. Sia M = ^{1   23   4}. Allora:

   • M² = ^{1   49   16}
   • M² = ^{7   1015   22}
   • −M = ^{−1   −2−3   −4}
   • M³ = ^{1   827   64}

Matrice con parametro

2. Sia k un parametro reale e si consideri la matrice A = ^{4 − k   1   1 1   k − 2   1 1   1   4 − k}. Allora la matrice A:

   • Ha rango 1 se e solo se k = 3.
   • Ha rango 2 per ogni k ∈ ℝ.
   • Ha rango 2 se e solo se k = 3.
   • È invertibile per ogni valore reale di k.

Matrice quadrata e rango

3. Sia A una matrice quadrata 5 x 5 con determinante nullo. Denotato con r(A) il rango di A, allora:

   • r(A) = 3.
   • r(A) = 4.
   • r(A) ≤ 4.
   • A è invertibile.

Esercizio sulle matrici

4. Siano date le matrici

   • A = ^{2 12 41 4}