etivity analisi appello Giugno 2020, 10 etivities con risposte commentate

Ettivity - Modulo 3

Tempo rimanente: 01:59:55

Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione valore assoluto |x| è quella vera?

• La derivata, dove esiste, è strettamente crescente.
• È derivabile in ^R\{0}.
• È costante.
• Non è continua in 0.
• È derivabile anche in 0.

E

x > 0

y = x

y = -x

|x| = { x x > 0

|x| = { -x x < 0

lim_x→0^- g(x) = lim_x→0⁺ g(x) ⇒ continua

D(|x|) = { 1 x > 0

D(|x|) = { -1 x < 0

lim_x→0^- - 1 ≠ lim_x→0⁺ 1 ⇒ non derivabile in x = 0

Ettivity - Modulo 3

Tempo rimanente: 01:59:55

Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione valore assoluto |x| è quella vera?

• La derivata, dove esiste, è strettamente crescente.
• È derivabile in ℝ \ {0}.
• È costante.
• Non è continua in 0.
• È derivabile anche in 0.

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La funzione |x|

y = -x

y = x

|x| = { x x > 0 -x x

lim_x→0⁻ g(x) = lim_x→0⁺ g(x) ⇒ continua

D(|x|) = { 1 x ≠ 0 -1 x

lim_x→0⁻ -1 ≠ lim_x→0⁺ 1 ⇒ non derivabile in x=0

Ettività - Modulo 3

Tempo rimanente: 01:56:29

Domanda 2 di 5

2) Qual è il polinomio di Taylor di f(x) = sin(2x) - cos(3x) di grado 2 nel punto x = 0?

• 2x + 3x²
• 1 + 2x + 3x²
• 2x - ⁹/₂x²
• -1 + 2x + ⁹/₂x²

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sin x = x + o(x) => sin 2x = 2x + o(x)

cos x = 1 - ^x2/₂ => cos 3x = 1 - ⁹/₂x²

=> f(x) = 2x - 1 + ⁹/₂x²

Ettivity - Modulo 3

Domanda 3 di 5

Tempo rimanente: 01:53:20

Qual è la derivata di f(x) = sin(x) cos(x) ?

• 2 sin(x) cos(x)
• sin(x)² + cos(x)
• cos(x)² + sin(x)
• sin(x)² cos(x)²
• sin(x)² - cos(x)²
• cos(x)² - sin(x)²

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g(x) = D(sinx) cosx + sinx D(cosx)= cos²x - sin²x

Qual è la derivata di \( f(x) = e^{x^2+2x} \)

• \( e^{x^2+2x} \)
• \( f'(x) = e^{x^2+x}(x^2+x) \)
• \( f(x) = e^{x^2+x}(x^2+x) + 2xe^{x^2+x} \)
• \( f(x) = e^{x^2+2x} + xe^{x^2+x} \)
• \( e^{x^2+2x}(2x+2) \)

Etivity - Modulo 3

Tempo rimanente: 01:49:09

Data la seguente funzione f(x) = x³ / (4x² + 3x - 1), quale delle seguenti affermazioni è esatta?

• La funzione è strettamente crescente.
• La funzione ha un asintoto obliquo.
• La funzione ha un asintoto orizzontale.
• La funzione è strettamente decrescente.
• Il dominio è l'intera retta reale.

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asintoto obliquo

y = mx + q

m = lim_x-> f(x) / x = 1

il dominio non è tutto R

perché 4x² + 3x - 1 = 0 ha Δ>0

Etivity - Modulo 4

Domanda 1 di 5

Indicare quale delle seguenti risposte è l'integrale ∫log(x) dx.

• x log(x) + c
• x² log(x)² + c
• x log(x) + x + c
• ^log(x)/_x + c
• x log(x) - x + c

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A volte è utile il trucco di immaginare la presenza di un fattore "·1" da interpretare come D(f):

∫ log(x) dx = ∫ 1 · log(x) dx = ∫ D_x(x) · log(x) dx = x · log(x) - ∫ x · D_x(log(x)) dx = x · log(x) - x (+ c)

Etivity - Modulo 4

2) Indicare quale delle seguenti risposte è l’integrale ∫ x e^x dx.

x²e^x + c² / 2 + + + − + 2 / 2 − +

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Idea: è il prodotto di due termini, x ed e^x, dei quali il primo ha una derivata più semplice [() = 1] e il secondo può essere interpretato facilmente come la derivata di un altro termine [ = () = e^x]. Quindi:

∫ e = ∫ () = e − ∫ () = e − ∫ e = e − e (+ )

Etivity - Modulo 4

3) Indicare quale delle seguenti risposte è l'integrale _∫^{x / cos(x2)2} dx.

• ^1/2 tan(x)² + c
• tan(x)² + c
• ¹/_{x cos(x²)²} + c
• ^1/2 tan(x²) + c
• ¹/_cos(x²) + c

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E­tivity - Modulo 4

Domanda 4 di 5

• sin(x) - x² cos(x) + c
• x sin(x) - x cos(x) + c
• cos(x) - x sin(x) + c
• sin(x) - x cos(x) + c
• sin(x) - cos(x) + c

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