Etivities analisi 2 del 2021, prof Marchisio

• a) Aperto e non connesso per poligonali
• b) Chiuso e limitato
• c) Illimitato e non connesso per poligonali
• d) Né aperto né chiuso e limitato

D = { (x, y) ∈ ℝ² : y ≤ x² ∧ y ≠ ±4 }

Convergenza delle serie

La serie ∑ _n=2^∞ (x - 25)ⁿ converge:

• a) In un intervallo aperto
• b) In un intervallo semiaperto
• c) In un intervallo chiuso
• d) In tutta la retta reale

Soluzione: X₀ = 25; a_n = ^{n3 + 1} / _{n⁶ - 2}
S^-1 = lim_n→∞ a_n+1 / a_n = lim_n→∞ [^{(n+1)3 + 1} / _{(n+1)⁶ + 1}] [^{n6 - 2} / _{n³ + 1}] = 1; la serie converge per 25 - 1 ≤ x ≤ 25 + 1; quindi 24 ≤ x ≤ 26.

Affermazioni sulle serie

Quale delle seguenti affermazioni sulla serie Σa_nxⁿ è falsa?

• a) Converge sempre almeno in un punto
• b) Il raggio di convergenza è sempre maggiore di 1
• c) Se a_n = 1/n, allora il raggio di convergenza è 1
• d) Converge sempre in un intervallo

R^-1 = lim_n→∞ (a_n+1 / a_n); X_o = 0

Equazioni differenziali

Quale delle seguenti affermazioni sull’equazione differenziale y′ = yt è falsa?

• a) È lineare
• b) È a variabili separabili
• c) Ammette soluzioni stazionarie
• d) Ammette come soluzione un polinomio di primo grado

☐ a ☐ b ☒ c ☐ d;
^y′/_y = t ⇒ ln y = t²/2 ⇒ y = e^t2/2(s); quindi la D è sbagliata.

Soluzioni di equazioni differenziali

L'equazione differenziale y^'' = 0 ammette come soluzione:

• a) Tutte le funzioni del tipo cos(at) + sin(at), a ∈ R
• b) Tutti gli esponenziali del tipo e^at, a ∈ R
• c) Tutti i polinomi di secondo grado
• d) Tutti i polinomi di qualsiasi grado

□ a □ b □ c □ d;
Un polinomio di 5^o ordine non si annulla derivandolo 4 volte.

Campi vettoriali irrotazionali

Quale dei seguenti campi vettoriali è irrotazionale?

• a) \( \hat{F}(x, y) = (xy, xy) \)
• b) \( \hat{F}(x, y) = (e^x, \cos(xy)) \)
• c) \( \hat{F}(x, y) = (2xe^y, x^2e^y) \)
• d) \( \hat{F}(x, y) = (ye^x, xe^x) \)

\(\frac{\partial V_2}{\partial x} = \frac{\partial V_1}{\partial y}\);
\(\frac{\partial (2xe^y)}{\partial y} = 2xe^y\);
\(\frac{\partial (x^2e^y)}{\partial x} = 2xe^y \Rightarrow \)

Curva regolare

La curva φ(t) = (cos t, t²) è:

• Regolare a tratti e non semplice sugli insiemi del tipo I = [-a..a], a ∈ R⁺
• Regolare e chiusa sugli insiemi del tipo I = [0, a], a ∈ R⁺
• Regolare a tratti e chiusa sugli insiemi del tipo I = [-a..b], a, b ∈ R⁺
• Regolare e semplice sugli insiemi del tipo I = [-a..a], a ∈ R⁺

ψ̇(t) = (-sen t, 2t), t=∈ [-a, a]; non semplice.

Funzione Lagrangiana

La funzione Lagrangiana della funzione f(x, y) = x² - y² vincolata al vincolo di equazione y² = x² è:

• a) L(x, y, λ) = (1 + λ) · (x² - y²)
• b) L(x, y, λ) = x² - y² - λy² - λx²
• c) L(x, y, λ) = x² - y² + λy² + λx²
• d) L(x, y, λ) = (1 - λ) · (x² + y²)

L(x, y, λ) = x² - y² - λ (y² - x²) = (1 + λ)(x² - y²)

Matrice Hessiana e massimi assoluti

Sia f(x,y) una funzione che ammette massimo assoluto in un punto (x₀,y₀). Allora:

1. La matrice Hessiana ha determinante positivo in (x₀,y₀)
2. La matrice Hessiana ha determinante negativo in (x₀,y₀)
3. La matrice Hessiana ha determinante nullo in (x₀,y₀)
4. Nessuna delle precedenti

abcd H(x₀,y₀) riguarda gli estremi relativi di g(x,y).

Limitazioni delle funzioni

La funzione f(x, y) = 1 - x⁶y⁶ è:

• a) Limitata inferiormente
• b) Limitata superiormente
• c) Limitata sia inferiormente che superiormente
• d) Nessuna delle precedenti