Derivate e continuità
1) f'-(x) = 0D(x2sin(1/x)) = 2x sin(1/x) + x2 cos(1/x)(-1/x2) == 2x sin(1/x) - cos(1/x)
limx→0 f'-(x) > limx→0 2x sin(1/x) - cos(1/x) = ∞μ
Non è vero che non è deriv.!
2) Uso (es. deriv.) f'(0) = limh→0 f(h) - f(0)/h == limh→0 h2 sin(1/h)/h = 0
ε derivate in 0, velo 0 f'(1)=0
f'-(x) = {2x sin(1/x) - cos(1/x) x ≠ 0 0 x = 0}
Dopo che limx→0 f'(x) ≠ f'(0) ⇒ f'(x) non è cont. in x=0 (perché x ≠ 0)
1. f'(x) = 0D[fxsin(1/x)] = 2x sin(1/x) + fx cos(1/x)(- 1/x2) == 2x sin(1/x) - cos(1/x)
limx→0 f'(x) = limx→0 2x sin(1/x) - cos(1/x) = ∞
Non è vero che non è deriv.!
2) Uso (es. def.) f'(0) = limh→0 f(h) - f(0)/h = = limh→0 h2 sin(1/h)/h = 0
Derivate in 0, vale 0
f(0) = 0
f'(x) = {2x sin(1/x) - cos(1/x) x ≠ 0 0 x=0}
Dato che limx→0 f(x) ≠ f'(0) ⇒ f'(x) non è cont. in x=0 (perché x ≠ 0)
Analisi 1
f(n) = n2+3
Equazioni irrazionali
Supponiamo rad(x - 3) = a
Dimostra la tesi con B come
Non dimostra la tesi, la congettura deve essere vista
Dimostra per assunzione
A / B V
A / B v C
Es 1 - Assunzione di Gauss
(a 2 + x + 1)
V verità
Dimostra che la congettura non è vera
Esercizio
- ABC
Es 3 - V ciò che viene
Disuguaglianza
x2
- X2 = 9
x = ±3 (zeri)
-3 (x - 3)(x + 3) SEGNO
-∞ -3 x > 3
Grafico
Segno meno (-)
|x + 4| x + 4 -4 |x - 3| x - 3 1x 4
+ - +
-∞ tabella segno
-3 R ∧ SIR
x ∈ (-∞, -3) ∪ (3, ∞)
Esempio 2
x1 2x = ±3
x > 0 ∧ x x2 2
-∞ x -3 0 3 +∞
x = ±3 ∧ x = 0
4) |x - 3| x - 3 - x|x2 - 9|x |x| - |y||x|/|y| > - 4
5) x2 - 4x + 4 x2 - 4x + 3
Le soluzioni e le due soluzioni sono espressioni razionali: (+ e -)
-∞ x1 01 02 03 +∞
-1 0
-1 funzione con segno concorde (anche non strettam. decrescente)
log₄x-log₂x²=1
Dominio
x>0 limiti
- Graficointersezione log₄ x - log₂ x² = 1 Asse X
Disegnamo il grafico della funzione
Problemi aperti
{ f(x) continua \[ r(x) centrale \] }
logx³ - logy nb = (x-y)
Ex 4
A = { x | x = μ/μ2 + (-1)n μ/μ2, μ ≥ 1, n ∈ N }
(-1)n
n pari +1
n dispari -1
A pari xn = 1 + (-1)2k/(2k)2, 1 + 1/(2k + 1)2
A dispari xn = 1, -1/(2k + 1)2
A = A pari ∪ A dispari
- APARI ∩ ADISPARI = ∅
- Sup A = max {sup AP, sup Ad} = 5/4
- Inf A = min {inf AP, inf Ad} = 0
Ex 5
A = {x | x = cos(mπ) - 1/μ, m ∈ N, μ ≥ 1}
cos(mπ)
μ PARI cos(mπ) = -1
μ DISPARI cos(mπ) = 1
APARI x = {1 - 1/2j} j ≥ 1
inf APARI = 1/2
sup APARI = 1
A dispari x = {-1 frac{1}{2j+1}}j=0
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