Esercizi Modello Geometria

Equazioni cartesiane dei piani e delle rette

Piani contenenti la retta r₁

Equazioni cartesiane dei piani che contengono la retta r₁:

• { x + y - 2 = 0
• 2y - z - 2 = 0

P_m: (-1,1,2) P_ru: (2,0,-1)

S:

• { x - y + z = 0
• 2z - 1 = 0

S:

• { x = t + 2
• y = t
• z = t - 1

P_ds: [(4,1,0)] P_se: (2,0,1)

Piano contenente r₁: | x - 2 y z +1 | | 1 1 1 0 | -2(x-2) - 1(y-2) - 2(z+1) = 0
x - y + z = 1

Proiezioni ortogonali

Le coordinate del punto H, proiezione ortogonale di P su SP: (1,0,2)

• { x - y - z - 1 = 0
• z - 1 = 0

Trovo il piano passante per l'ortogonale a SP_ds: [(1,1,0)]

π: 1(x-1) + 1(y-0) + 0(z-2) x - 1 + y = 0 => x + y -1 = 0

• { x - y - z - 1 = 0 }
• { z - 1 = 0 }
• { x + y - 1 = 0 }
• { -y - y - x -1 => y = -1/2 }
• { z=1 }
• { x = -y+1 }

P (3/2, -1/2, 1)

Equazioni cartesiane dei piani y₂

• { x + 4y - 2 = 0
• 2y - z - 1 = 0 }

S₁ = { x - y - z - 1 = 0
S₁ = { z - 1 = 0 }

P₁ = {-1,1,2}
Pr = {2,0,-1}
p_da = {4,1,0}
p_dm = {2,0,1}

Piano contenente y₂: | x -2 y + z + 1 | | 0 1 2 0 | | 1 1 0 |
-2(x -2) - 9(z -2) - 2(z+1) = 0

y₂x -2x + 4z - 2z z - 2z = x 2 x - 3x + 4z 2 = 2 - x
x - y + z = z - 1 = 0

Coordinate del punto H

Le coordinate del punto H proiezione ortogonale di p su SP = {1,0,2}

• S = {x-y-z-1 = 0
• z - 1 = 0 }

Trovo il piano passante per l'ortogonale:

• π: 1(x-1) + 1(y-0) + 0(z-2) => x - 1 + y = 0 => x + 4y - 1 = 0
• | x - y - z = -1 = 0
• z - 1 = 0
• x + y -1 = 0
• y - y - x - 1 => y = -1/2
• z = 1
• x = 1/2 -1+3/2

P (3/2, -1/2, 1)

Equazione del piano contenente 2 rette incidenti

Y₁: x + z – 2 = 0
y + 3z = 0

S₁ y = 0
2x – z – 4 = 0

Y₁: x = t
y = -3 t
z = t + 2

S₁: x = t
y = 0
z = 2t – 4

Y₁ ∩ S₁: x = 2
y = 0
z = 0
(2,0,0) punto d'incidenza

x + z – 2 = 0
y + 3z = 0
y = 0
2x – z – 4 = 0

| x - 2 y z || -1 0 2 ||1 -3 1 |
-6(x - 2) + 3y + 3z -6x +12 + 3y + 3z
2x – y – z = 4 - 0

Retta passante per P e ortogonale a direzioni

Retta passante per P(2,0,-1) ortogonale sia a s sia che v₁

Trova il complemento ortogonale tra i parametri direzioni di: s e v₁

γ₁:
x+z-2=0
y+3=0

s₁:
y=0
2x-z-4=0

γ₁:
x=-₁z+2
y=-3
z=t

s₁:
x=t
y=0
z=2t+4

P_dir[0,-3,1]
P_ols[1,0,2]_{-1 -3 11 0 2}

(x y z)=0
-x-3y+2=0
x+2z=0
z=2⇒

2-3y+2 → y=2
x=-2z
z=2

Bs₁(-2,1,1) retta per P + direzione

σ:
x=2-2t
y=0+t → z-t=y
z=-1+t

ρ:
x=2-2y
z=-1+y
x+2y-z=2=0
-y+z+1=0

Equazione cartesiana della retta proiezione ortogonale

R: x+2y-1=0
x-y-3z-2=0

Sul piano π: x+y=0

• x+y=0
• x+2y-1=0

R:

• x=a+2t
• y=b-t
• z=c-1

x+2-2t+1=0
| x-1 y z+1 | | 2 -1 1 | | 1 1 0 |

Intersezione tra piano che la contiene e R:

• x+y=0
• x-y-3z-4=0

Rappresentazione cartesiana della retta passante

Per P: (1,0,1) con R: x +2z y=0 z

S: 2x y z = x y passo di tanni x t 2z y k ( z ) 1 0 + k = x = x =1

S:

• {x=t
• y=2-t
• z=-2t

(x-1) -1 (y-0) t 3 (z-1)
x-y t 3z -t =0

• x t 2g =0
• x - y t 3z -t =0

Equazione cartesiana della superficie Q

Ottenuto tramite la rotazione di r: x+4y-z=0
y+2z=1

Scriviamo ad ax=y=0
x=-t+1
x=0
y=0
z=t

o(x+t-1) o(y-t) 1(z=t-1)
z-t-1=0

A(0,0,0)

p.da [(0,0,t)]
d(AKT)=√((t+1)²+(t)²+(t+1)²)

√t²-2t+1+t²+t²-2t+1
√3t²-4t+2(x-0)²+(y-0)²+(z-0)²=3t²-4t+2

t=z+1
x=y
x² + x² + 2x - 4x =0 => x²-x =0 => x(x-1)=0
x=0(0, y, 1)

(1 1 0) (1 -1 2) (0 -2 0)
-2y=0 => y=0
k=1(1, 1, 1) (1 1 0) (1 -1 2)
(0 -2 0)1+1 1+1-2 -2 x-1=0

• {y=0
• {x-1=0

ℓ ha un asintoto parallelo alla retta r:
ℓ: x²+kx²-2xy+2x+y+k
r: x-3y=0

Sostituisco nella conica
y+k-6=0 => k²=3

Trovare il polo della retta se k=0
x²-2xy+2x+1=0
(1 0 1)(1 -1 -1)(1 0 1)(0 1 0)
11 - 4 + 1 -2x -y + 2=0