Esercizi Matrici, Norme matriciali e Gram Schmidt

Determinare il rango di A

A =

• 0 1 2 1
• 1 1 1 0
• 0 -1 1 1
• 1 1 4 2

B =

• 1 1 4 2
• 0 1 1 0
• 0 -1 1 1
• 0 1 2 1

C =

• 1 1 4 2
• 0 1 1 0
• 0 -1 1 1
• 0 0 3 2

D =

• 1 1 4 2
• 0 0 3 2
• 0 -1 1 1
• 0 0 3 2

E =

• 1 1 4 2
• 0 -1 1 1
• 0 0 3 2
• 0 0 3 2

F =

• 1 1 4 2
• 0 -1 1 1
• 0 0 3 2
• 0 0 0 0

Rango(A) = 3 numero di righe linearmente indipendenti

Determinare il rango di A

A = 0121 1110 0-111 1142

B = 1142 0110 0-111 0121

C = 1142 1110 0-111 0032

D = 1142 0032 0-111 0032

E = 1142 0-111 0032 0032

F = 1142 0-111 0032 0000

Rango(A) = 3

Numero di righe linearmente indipendenti.

Esercizio:

Dato: \( x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) Calcolare \(\|x\|_1, \|x\|_2, \|x\|_\infty\)

\(\|x\|_1 = |1|+|1|+|-1| = 3\)

\(\|x\|_2 = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\)

\(\|x\|_\infty = 1\)

Esercizio:

Dati:

\(A = \begin{bmatrix} 1+i \lambda & 0 & -1 \\ i & 1-i \lambda & 1 \\ 1 & 2i & 1+2i \lambda \end{bmatrix}\)

\(x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -i \end{bmatrix}\)

\(Ax = \begin{bmatrix} 1+2i \\ 0 \\ 3-i \end{bmatrix}\)

\(\|Ax\|_1 = \sum_{i=1}^{m}|Ax_i| = \sqrt{5} + \sqrt{10}\)

\(\|Ax\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}|Ax_i|^2} = \sqrt{15}\)

\(\|Ax\|_\infty = \max_{i=1,...,m}|Ax_i| = \max \left\{\sqrt{5}, \sqrt{10}, 0 \right\} = \sqrt{10}\)

Esercizio:

Si consideri il vettore \(w = [ \alpha ,0, 1]^T\) dipendente dal parametro reale \(\alpha\).

Si calcoli, al variare di \(\alpha\), la norma \(\infty\) di \(w\) e si dica qual è l'unico valore di \(\alpha\) che rende \(w\) un vettore unitario in norma 1 e 2.

\(\|w\|_\infty = \max_{i=1, ..., m}| w_i| = \max \left\{ |\alpha|, 0, 1 \right\} = 1\)

Si fa una considerazione

1. Se \( |\alpha| < 1 \rightarrow \alpha < 1 \)

\(|\alpha| \leq |\alpha|\) → con \(\alpha \leq -1 \land \geq 1\)

\(\|w\|_2 = \sqrt{|\alpha|^2 + 0 + 1^2} = \sqrt{|\alpha|^2 + 1}\)

\(\|w\|_1 = |\alpha| + 0 + 1 = |\alpha| + 1\)

- Le due norme sono contemporaneamente unitarie se e solo se \(\alpha = 0\).

Esercizio: Dati i vettori:

Calcolare la loro norma con indice 1, 2 e ∞.

||v||₁ = ^m ∑ |v_i| = √10 + √17 + 1i=1

||v||₂ = √^m ∑ |v_i|² = √(√10)²+(√17)²+1² = √28 = 2√7i=1

||v||_∞ = max _i=1,...,m |v_i| = max { √10, √17, 1 } = √17

Importante!!!

Ricordare che per svolgere le norme 1,2,∞ tra vettori e matrici con numeri complessi si deve sempre considerare solo il modulo del numeroModulo = √a²+b²( coeff. parte reale ) ( coeff. parte imm. )

Esercizio: Dati i seguenti vettori:

₁ = ²      0₃ = ^-1      1(1, 2, 1)₂ = ^-1(1, 2, 1)₁ = ¹      6      6¹      0_{2, N3 2, N1} ^{1-1 01 -2 -1}

q₁ = ¹_{2, N1}