Formulario di Algebra - Esercizi

Somma vettoriale

_x⃗ + ȳ⃗ = ( x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m )

Prodotto per uno scalare

λ_x = ( λx₁, λx₂, ..., λx_m )

Prodotto scalare

_x⃗ · ȳ⃗ = < x, y > = x₁y₁ + x₂y₂ + ... x_my_m

_x⃗·_x⃗= ||_x⃗||² ||ȳ⃗||cosθ (cos(angolo compreso))

<x, ȳ> = 0 = > vettori ⊥

Norma di un vettore

Norma di un vettore (lunghezza)

||_x⃗|| = |_x⃗| = √x₁² + x₂² + ... + x_m²

|| (a,b) || = √a² + b²

||_x⃗ - ȳ⃗||² = ||_x⃗||² + 2 _x⃗·ȳ⃗ + ||ȳ⃗||²

||_x⃗ + ȳ⃗||² = ||_x⃗||² - 2 _x⃗·ȳ⃗ + ||ȳ⃗||²

Distanza tra due vettori

dist ( x₁ , ȳ_i ) = ||_x⃗- ȳ⃗|| = √(x₁ - y₁)² + ... +(x_n- y_n)²

Coordinate polari e cartesiane

x = ρcosθ y = ρsinθ

ρ = √x²+y² tanθ = y/x

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

|_x⃗, ȳ⃗| ≤ ||_x⃗|| ||ȳ⃗||

Equazione della retta cartesiana e parametrica

y = mx + m m = coeff angolare

r₁/r₂ = m₁ = m₂ k_r+I_r(9) = m₂ = 1/m₁

(a,b) ⊥ (c,d) m = d/C

Cartesiane <> parametrica: P + t((O-P]

Parametrica <> cartesiane:

• A _a+cI
• Ricavi t da una delle due
• Sostituisci nell'altra

ax - by = 0 ( a,b )∈ d della retta

parametrizzazione: (a,b)±t(b,-a) oppure(O,O)±t(b,-a)

Angolo tra due rette

(a,b)=( c,d )⟂ ( s=gl ) ± (g,a)} cosθ = || (c,d)|| || (g,h) ||

Pivot

Pivot: primo elemento non nullo dopo gli zeri iniziali

Mutua posizione di due rette nel piano

entrambe in cartesiane → faccio il sistema

entrambe in parametrica → riscrivo una con parametro diverso, trovo t ed s, e poi sostituisco nel parametri che due forme diverse → sostituisco le parametriche nelle cartesiane, trovo t e lo sostituiscono nelle parametriche

Rette II in parametrica

le due direzioni sono l'una multiplo dell'altra

Mutua posizione di due rette nello spazio

entrambe in cartesiane → faccio il sistema

Piani nello spazio

ax + by + cz +d = 0 (a,b,c) ⊥ al piano

⬝ di vettore governano il piano

cartesiana → parametrica

parametrica → cartesiana: vettore ortogonale

( x,y,z) → (u,v,w)

(u₁, u₂, u₃) (v₁, v₂, v₃)

(w₁, w₂, w₃)

Mutua posizione di due piani

lavoro sempre in cartesiana e faccio il sistema

Somma di due matrici

(A,B)_1,1 = A_ij + B_ij ← stesse dimensioni

Prodotto matrice - numero

(λA)_ijer = λA_ij

Matrice trasposta

(A^T)_i,j = A_ij

Prodotto di matrici

(AB)_i,j = ∑_k=1^m A_ik%(B)_kj∈ { , . .. , }

Somma vettoriale

_x + _y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m)

Prodotto per uno scalare

λ_x = (λx₁, λx₂, ..., λx_m)

Prodotto scalare

_x∙_y = = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m

|_x∙_y| = |_x| |_y| cos θ (angolo compreso)

_x∙_x = 0 → vettore 0

Norma di un vettore

Norma di un vettore (lunghezza)

|_x| = |_x| = √x₁² + x₂² + ... + x_m²

||_a,_b|| = √a² + b²

|_x±_y|² = |_x|² + 2∙_x∙_y + |_y|²

|_x-_y|² = |_x|² - 2∙_x∙_y + |_y|²