Algebra e Geometria - esercizi

Esame di geometria e algebra

Prof. Giorgio Donati - 20 dicembre 2005

Applicazione lineare

Sia \( f : (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \to (-hx + z, (h - 2)x + y - 2z, 2hx + 3y - 2z) \in \mathbb{R}^3 \) un'applicazione lineare.

• Determinare la dimensione di \( Im \, f \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \).
• Determinare per quali valori di \( h \) \( f \) è un isomorfismo.

Applicazione lineare da \(\mathbb{R}^3\) a \(\mathbb{R}^2\)

Sia \( f \) un'applicazione lineare da \( \mathbb{R}^3 \) a \( \mathbb{R}^2 \) determinata da \( F(-2,0,1)=(1,1), F(-1,2,2)=(3,2), F(0,-2,1)=(-3,1) \).

Calcolare l'immagine di \( F(-7,4,7) \).

Endomorfismo

Sia \( f : (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \to (-2x + 4y, -x + 4y - 2z, 2y - 2z) \in \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo.

Determinare gli autovalori di \( f \), le rispettive molteplicità algebriche e geometriche e costruire una base per ciascun autospazio. Stabilire inoltre se \( f \) è diagonalizzabile.

Geometria analitica nello spazio

In un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, sono dati il piano \(\pi : x - 3y + z - 2 = 0\), il punto \(P(0,-1,2)\) e la retta \(r : \begin{cases} y - 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases}\).

• Determinare l'equazione del piano \(\alpha\) passante per \(P\) parallelo a \(r\) e ortogonale a \(\pi\).
• Verificare che i punti \(R(2,-2,1), S(1,-1,3), T(5,-2,3)\) non siano allineati e determinare l'equazione del piano \(\beta\) che li contiene.
• Sia \(s\) la retta contenente i punti \(S_1(1,3,-2)\) e \(S_2(4,2,-4)\). Determinare una rappresentazione per la retta \(t\) passante per \(P\) complanare sia ad \(r\) sia ad \(s\).
• Sia \(a\) la retta contenente i punti \(A(-2,0,3)\) e \(B(-1,3,2)\). Determinare una rappresentazione per la retta \(b\) passante per il punto \(L(2,2,2)\), ortogonale e incidente la retta \(a\).