Esercizi divisi per capitoli Analisi 2

Capitolo V nello curve grafici e superfici spazio

1 Una curva parametrizzare

1n Ieri I oaxx y y y Quello fare fissare è t devo è che siccome semplice un'espressione latfunzione di curva scriveree x ey dunqueethaty Edttirit telot.ttsett at 2conoppure2n Ieri My'Sx xy y Vedo mente subito ini quindi vienemi quadrati acos ybsentD'sental 5cost cos't sente 1cheee sapendoottengo Perciò Bè lab5 diventaho b cioèche a curvaEsenticostriti sentai costconl'intervallo Devo t altrimenti è discrivere incompleto però absent Boost Devo l'esercizio risolvere x adunque ysenta lasentcost costa risolvo ovvero 0 goniometrica Y X X Ysentassociate 0cost o XEYI 4242 1 kikfaho due sistemi e dunqueYpg HYette Per È vale l'altro cost sistemaecui per Kasent EFate Dunqueq

2 Con polo nell'origine polare l'eq scrivere assegna della curva l'eq cartesiana mediante

1n So tra la relazioneLx è che cartesiane coordinate quelleg polariersenaarcoso è Xercoso che Dunque ecco l'equazione polare yerseno fare Cerco le Olimitazioni di dovrei sireo rmapoi qui A 2tanaseno 2050 2 artanrisolvosemplifica dunquee Vedo di edvalore è 600 effetti coerente che è incirca ciun se è Oil è costante grafico unae quindipenso 6050

2n ridorende le limitazionida è cui X polare l'equazione y senoleO trovodi reo 70reodunqueponendo 0cos4070 020tg cioé Oct risolvere devo oovvero cosa O070 I IScosI ilocchida è che coerente t cui ottengo col cise grafico penso 0 itA tuttalpiùIR

5 La curva in parametrizzare

Erzi 1 EX HOXx yy Fisso tilt Ereti toit1 1yet Ee eottengo dunque È te 1,1t cioé X 1 7070 cioe con ER My 1 2x OZZx y YEYI Vedo la 1 ricordache mi quella goniometrica espressione 2costzte2costikcosti sentireti 0,2117conperciò11

La lunghezza calcolare delle curve

1n è Fatet.itrltl 10,1Curva K teperet Taitetfetiovvero IPer IF ottlatrovare formula tidevo lausare lunghezza dunque Let ettifitti FEEtilIf èè IL citetè L'età èèetL'FI e

2n terltftitlntjtbtt.lk 1,2perfetteHo E Cnt la Lfaccio derivata3ft calcoloedunque poittfiche 1 1 fa È 2771V1 V2LUI NEIf Uta1 e ottengoraccolgoILf alt tiL 5lae at 1 da 1se stsostituzione 1 cuiuso aI S ds3 attizza iftp.s.sfds sign disasaIn ds 1155 1sPer Nfare trala divisione Ddevo escamparla fitste sasa 1quindi riscrivo e1 gags 1 Lf B1 falsiDunque 3 sestaattifestiesB scomponco BIIIIstissaBt flnlstilfif.lmls.nl3 f BalnlnentaB lnB a13 In3 telorltl sentjtcost.k etfsent.it perfeti NotoHo t èsent cost chesentfa i quindiangolounmodulo dellailè chedicoordinate cuipolari soinuna curva Ifil ladaè della tderivata t 1 cuicurvap lunghezzapFIL 1 att sì

4n DEL Fcareti ilcioè hoO re0,2 cuiincasocon faIn è di damodochesicasi incercare parametrizzarlaquelloquesti 02visto èchecoordinate plotmetterla avessicomein polari sequirit coso plasendl'plotquindi lo O'senocoso fi featLa fformula doèla conlunghezza e dunqueper do40rtL 0IO 044 E Gdo 19

12 Parametrizzazione d'arco lunghezza con

1n t l'hovistoche ce comeFAf agentK un'altravariabileµi usoestremoAcosty I GildaIfla sitid'arcoVoglio con lunghezza parametrizzareV5 SI3senza4 4 dm est tsitit i dunquecos'µ eTifi 2005Jritiotteniamo Kriparametrizzando 25cm

2n TEKreti Att ati 3Ifè If 5sett da dove 161 8µµ t SISt rit èdm parametrizzatae ridunqueBEHitrit 1 3 45g

25 Dire e aperti determinare sono il dominio se insiemi

1n diaminevuol leV1 taliCercareX legil cuidire trovare xez y perla vuolfunzione neldireesiste Xe avereydunque un disegno XypianoRInfatti benetrovavo soloche andavanoin xIl lo dellaradicedevechetrovo l'argdominio 70 ovveroesseresapendo 5Xy1 20 cerchio AppovveroX 1Y'El di raggioVyseDDunque x y 1dial 10,01centratointernicioè cerchioi inpunti raggion

2 Ricordoln lail lndi è checheze significaXxy graficoè che so xsoc Xysial'argomentoe ydunqueD soloDunque x Xxy ovvero yy e prendodisegnole Xy poi

27 Delle funzioni livello disegnare insiemi di

1n Gli talilivelli didi gliZ 2gXt insiemi cuiXinsiemi sono ey perla il livellovale Tipo certo certo c 3Dunz intaglio quota grafico ounchevedoC xe e corrispondonoe yQuindi alcioè diX2 ovveroXt E CI2g variare C2g yV2fascioil retteè di cuicaso in coparallele ya

2nz Xy livello L'insieme è cioèdi 0 cartesianigli0 assiXyCon diE all'iperbole variarec covvero equilaterac yygenerale

3n 11 thyZ livello 17 1L'insieme èdi 0 0 X9 y TkXYYCon 1K A Xyc generale TEIXy

31 Se esiste trovare limite esiste che o non il dimostrare

1n cos't.ioPassoIya coordinate pPag'tin limppolarilimpy siUso Ipostihip chee oocome dunquedunque pe pperplimite 0èrichiestoil

2n ho 4,5se Xyallora29 29Xy XY 4 postMay 12,01 4 pent5paga 4 X ya y2Passo alle hovedo checoordinatepolari ma 2accorgimentounconal denon post psenta ee yperciò ottengopongo sentpsentlatpoost ap d'sentoost ilsentcost chelimp epapiosattpienat spada limiteil esistenon perciòdipende nonp

3n sen 1 9 ysen exCima sai Ya 12 Infine spotsemipcati2Yippie psentisemipcostiCoordinate polari limpcon so prositEst psentat feetprose da limiteil che il esistenon nondipende perciò:p

4n Xtya Coordinate polarimay scop Mya 1II limite èil2 2limp dunquepijaso

5n Provo732 le9 restrizioni9 conCima 7592Foyleoper 2FCX 2o 0yperSono limiteildiversi esistenondunquen

6 CoordinatepolariYXZYILx limcxyisco.atpagaKatyaPat costsent2pacostsent 112 Non esiste limp g

7n t'sen'y sentimentis'cos'tCoordinatel'my polari limpso paga pacosittsp'sentsenticos't.ptcos'tfisen'Ipsenti prosatsentsenti1 2flcosattssenat cos'tigsenattasentP'cos'tentPerciò taletrovare chehipdevo E 0un 0senz1 2P'cos'tent èVedo che doveE esop3senti1 2èlimiteil 0dunque proprio

8n Pentesonyasent lim piùCoordinate polaril'May so Naya sopcos't sent Non esiste

9n arctan ProvoXxy le restrizioniconEmy g o arctand 4Flog none ousoyetper ya avreiperché chearctoanyaarctant haFCX senso1 nono oyper continuità761

Dimostrare limiti libro

5 coipagEsempio Ilya èflx.gl continuaMostrare se o.ox nell'originey 0,01O x yDalla il fledèlimiteèteoria esisteesistecontinuache oseseso eIl 2 checostsentcoordinate nonesistelime limppolari sola funzione è continuanondunqueV difunzionidifferenzialeCapitolo variabilicalcolo piùperdifferenziabilità1vi

Esempio derivabilita e continuità

Esempio Derivabilita ECONTINUITAXYFCX loII og x y9miperyaContinuità nell'origine P'cos'tentIg cos'tsent.iocoordinatepolari limp pmix paaoyIp il ècostsent edlimiteE dove esisteo 0p o dunqueppPerciò la èfunzione continua nell'origineDerivabilità le derivateesistononell'origine parzialicerco se tifofloth f odfx o o.o a0,0 limp ohh hflo.othl flo.defy 0,0 limp oga hSiccome lafinitele derivate derivabileèfunzioneentrambe in 0,0esistonoparzialiDifferenziabilitànell'origine leè hadiff inoltrecontinua deriveesserepuòquindi limiteilrestasolo da 0cheverificare