Teoria Analisi 1 per svolgere - Esercizi

Cap. 3 numeri complessi

Z = x + iy → Z → (x, y)

Z*: opposto

Z*: parallelo

|Z|: modulo o norma = √(a² + b²) → Distanza di Z dall'origine

Z = coniugato = a - ib

|ZW| = |Z| |W|

|Z| = 1 ↔ |1/Z| = |Z|

|W| = 1 ↔ W = 1/^*W

Z / Z* = Z / Z = Z*

Re(Z) = Z + Z*

Im(Z) = Z - Z*

Z = 0 se Z ∈ ℝ (ovvero Z è sull'asse x)

Z ∈ ℝ → |Z| = 1 se Z ≠ 0

Z = x + iy = ρ_xω + i y sin θ e^iθ

ρ = distanza di P dall'origine

θ = un argomento di Z → tg(Z): k∈ℤ

x ≥ 0 → y ≠ 0

|-Z - 1| = |Z|

arg(Z*) = -arg(Z)

arg(1/Z) = -arg(Z)

Forza con le potenze

Forza con le potenze (prodotto iterato)

Z^m = ̣m| cos (mθ) + i sin (mθ) ρ -> radice di |Z| = √(x² + y²)

Z^m = cosθ + i sinθ = p^m e^iθm

Operazione esponenziale: cos(θ + i sin(θ))^m = p^m e^iθ

Z^w = ρ^1/ne^{iθ/n + 2kπ/q n} → Radice n-esima di un numero complesso

Cap. 3 numeri complessi

Z = x + iy -> Z:(x,y)

i: operato

Z = a

|Z|: Modulo o norma = √a² + b² -> Distanza di Z dall'origine

Z = coniugato = a - ib

|ZW| = |Z| |W|

|Z/W| = |Z|/|W|

1/|Z| = |1/Z|

Z/ = Z / |Z|² = 1/Z se Z∈ℝ (ovvero Z è 'null cone')

Re(Z) = Z + Z / 2

Im(Z) = Z - Z / 2i

Z· assume un argomento di Z -> tg(z) : {0 + 2kπ : k∈ℝ} z = ρe^iθ

Z = x + iy = |Z|(cosθ + isinθ)

1-|Z| = |Z| e arg(Z) = -arg(Z)

1/Z = 1/Z e arg(1/Z) = -arg(Z)

|1/Z| = |Z|^-1 e arg(1/Z) = -arg(Z)

Forza con le potenze

Forza con le potenze (teorema iterico)

Zⁿ = |Z|ⁿ [cos(mθ) + isin(mθ)] = e^iθ

Z = ρm e^iθ

Z = ρe^iθ / La forza esponenziale

Zⁿ = ρⁿ e^inθ

Radice N-esima di un numero complesso

Radice N-esima di un numero complesso

W_K = m√ρ e^i(θ+2kπ)/m

W_K+1 = V_K · e^i(2π/m)

Appartengono alla Ref. del centro O e raggio √|Z|

Funzioni continue e certe

Funzioni continue e certe

lim_x->x₀ [f(x)+g(x)] = lim_x->x₀ f(x) + lim_x->x₀ g(x)

lim_x->x₀ [f(x) · g(x)] = lim_x->x₀ f(x) · lim_x->x₀ g(x)

lim_x->x₀ (g⍦f⍦φ)(x) = g⍦[lim_x->x₀ f(x)] = g(｛ε｝)

Forme indeterminate

Forme indeterminate

±∞/∞ ; 0/0 ; ∞ᵒ ; 1∧∞

f(x)∧g(x) = e∧[g(x)ln(f(x))]

lim_x->x₀ f(x) = 0

Infinitesimo limitato = 0

lim_x->0 sin x / x = 1

lim_x->0 (1-cos x)/x² = 1/2

Monotonia crescente

Monotonia crescente

f(x₁) ≤ f(x₂) -> lim_x->x₁ f(x) = inf J_{x₁, xεI} f

Decrescente

Decrescente

lim_x->∞ (1 + 1/x)^x= e

lim_m->∞ (1 + x/m)^m = e^x

Coefficienti binomiali

Coefficiente binomiali

(^m␣_k) = m! / [k!(m-k)!] : (^m␣_n-k)

(x+y)^m = ∑^m_k=0 (^m␣_k)x^m-ky^k

lim_x->∞ (e^x-1)/x = 1

lim_x->∞ ln(1+x)/x = 1

lim_x->x₀ g⍦(β(x)) / gϵ(k) = 0

Successioni

Successioni :

• Converge : esiste finito _lim a_{n n → +∞}
• Diverge Positivamente : _{se lim an → +∞}
• Diverge Negativamente : _{se lim an → -∞}
• Oscilla : _{se ⏀ lim an}

Bolzano-Weierstrass

Bolzano-Weierstrass :

Se (a_n) è una successione limitata, ammette una sottosuccessione convergente

Teorema di Weierstrass

Teorema di Weierstrass :

Se ƒ : [a, b] → ℝ è continua, assume max e min

Cap. 5 derivate

Cap. 5 derivate

f'(xo) = lim_x->xo (f(x) - f(xo)) / (x - xo) = Rapporto Incrementale

lim_δx->0 δf(δx) / δx = Derivata Prima

Se F è derivabile -> Allora è continua (non viceversa)

Punto Angoloso L⁺_dx(+L_sx)

Punto a Tangente Verticale L'(xo) = (+ ∞) or (- ∞)

Punto di Cuspide L⁺_dx -> ±∞ e L^-_sx -> &mnsp;∞

(f·g)'(xo) = f'(xo)g(xo) + g'(xo)f(xo)

(f/g)'(xo) = (f'(xo)g(xo) + f(xo)g'(xo)) / [g(xo)]²

(σ·g·σ)'(xo) = g'^-1(g(xo))·f'^-1(xo)

Derivate elementari

sin(x)' = cos x

cos(x)' = -sen x

tan(x)' = 1 / cos²x + 1

ln(x)' = 1 / x

a^x = d · x · x^a-1

(arc sin x)' = 1 / √1 - x²

arc cos x = -1 / √1 - x²

arc tan^-1 = 1 / 1 + x²

sin^-1h(x)' = cosh x

cosh^-1 = x sinh^-1(x)' = (cosh x -) > coseno e seno iperbolico

N.B ~ sin , ~ cos

si riferiscono alle misure in gradi sessagesimali

Se g^'(x) ≡ 0 -> x₀ = punto critico o stazionario

Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy

f(b) - f(a) = f^'(w)g(b) - g(a) g^'(w)

Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

f(b) - f(a) = f^'(x₀)(b - a) -> f^'(x) = f(b) - f(a)b - a

Se f^' > 0 -> f è crescente , f^' < 0 -> f decrescente

Se f^' è monotona crescente, f è convessa

Se f^' è monotona decrescente, f è concava

Hopital = lim ^f(x) = lim f^'(x)g^(x) lim g^'(x)

L'esponenziale fa parte a infiniti di calcolarsi potenza della stessa variabile

Lemma tecnico

Lemma Tecnico

^f(x) = ^f(m)(x_m)(x-x₀)^m n!

Se m è pari e f^(m)(x₀) -> p.to minimo locale

Se m è pari e f^(m)(x₀) -> p.to massimo locale

[Trovo la prima derivata ≠ 0]

Se m è dispari x₀ non è né max, né min locale

Polinomio di Taylor

Polinomio di Taylor

p_x0,m(x) = f(x₀) + f^'(x₀)(x-x₀) + f^''(x₀)2! (x-x₀)² + ... + ^{fm)(x₀)(x-x₀)mm!}

Resto di Lagrange

Cap. 6 serie

Serie

∑ a_n = lim ∑ a_n

n=0                            1→K

K→+∞ n=0

• Convergente: limite finito e v.a.s.
• Diverge positivamente (o negativamente): limite v.a.s. ±∞
• Oscilla: limite non esiste

Serie geometrica di ragione q

Serie geometrica di ragione q: (soccio da somma infinita)

∑ q^m = 1 + q + q² + q³ + q⁴ +...

m=0

Serie geometrica

Serie geometrica

∑ =K S_k: = _L

m=1 (N+1)/n(n+1)

lim (1 - 1 1/1+1) ->

n→∞ K→+∞

Converge se

Convergene se serie

∑(1/2)¹ 1/1-1/2

n=0

1/2 × 1/2 × 1/2

Converge se q serie n=0 m=1/n

n=2 de possone da 2 e non da 0

dopper multiplicare pe (1/2)⁰ × (1/2)¹

Serie armonica

Serie armonica

∑

n=1

m=1

A^L m

Diverge positivamente

Serie armonica generalizzata

Serie armonica generalizzata

∑_n=1 1/m^x

N.B. Devo guardare/-o cn Valurimi Criterio del confrotdi

∑ 1

div. α perche' cos3^a Specie

∫_a^∞ f(x)dx = lim_ε→0 ∫_a+ε^c f(x)dx + lim_b→+∞ ∫_c^b f(x)dx

Forme integrali notevoli

Forme Integrali Notevoli

∫_a^∞ (p(x)/q(x)) e^βx dx

con p(x), q(x) espressioni algebriche nella

incognita x

(e (p(x)/q(x)) > 0)

Idea:

β 0 → Diverge

β = 0 → Si studia

∫_a^∞ (p(x)/q(x)) dx

Cap. 8 - equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

Problema di Cauchy

Problema di Cauchy

F( f ( x, y, y^′ ( x ), y^m ( x ) ) ) = 0

{y( x₀ ) = a₀

y′( x₀ ) = a₁

⋮

y^(m−1) ( x₀ ) = a_m−1}

→Forma

Ξ^′′ + 2 Ξ′ + Ξ = sin t

{Ξ^′′ + 2 Ξ′ + Ξ = sin t

Ξ ( n.t ) = 2

Ξ^′ (1.ø) = 3}

y′ = x + e^y

Ξ(t): = 1/2 cos(t) + e^−t

Ξ′(t): = 1/2 (sin(t) − e^−t)

Ξ′′(t): = 1/2 cos(t) + e^−t

→ y t − > 1/2 cos(t) + e^−t

Eq. a variabili separabili

Equazioni a variabili separabili

y' = f(y) ⋅ g(x)

y' = f(y) ⋅ g(x) |y(x₀) = y₀

∫_y₀^y = ∫_x₀^x

Eq lineari del primo ordine a coefficienti continui

Eq lineari del primo ordine a coefficienti continui

Y'(x) + a(x)Y(x) = b(x)             L > Y(x) = e^-A(x)[y₀ + ∫_x₀^x e^A(s)b(s)ds]

con A(x) = ∫_x₀^x a(s)ds

per tutte le equazioni col prodotto y_₀ metto C

Eq lineari del secondo ordine a coefficienti costanti

Eq lineari del secondo ordine a coefficienti costanti

y''(x) + ay'(x) + by(x) = f(x) termine forzante

P(z) = z² ̄ az + b polinomio caratteristico

• Se P annulla 2 radici reale e distinte (a²-4b > 0) > y(x) = C₁e^z₁x + C₂e^z₂x

Soluzione particolare

Soluzione Particolare

f(x) = Rk(x)*e^αx*cos(βx)

Tabella derivate fondamentali

Tabella derivate fondamentali

f(x) = K _(costante) → f'(x) = 0

f(x) = x → f'(x) = 1

f(x) = x^p , p ∈ ℜ → f'(x) = p · x^p-1

f(x) = a^x → f'(x) = a^x · ln(a)

f(x) = e^x → f'(x) = e^x

f(x) = log_a(x) → f'(x) = ¹/_{x · ln(a)}

f(x) = ln(x) → f'(x) = ¹/_x

f(x) = | x | → f'(x) = ^{| x |}/_x

f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x)

f(x) = cos(x) → f'(x) = -sin(x)

f(x) = tan(x) → f'(x) = ¹/_cos²(x)

f(x) = cot(x) → f'(x) = -¹/_sin²(x)

f(x) = arcsin(x) → f'(x) = ¹/_√(1-x²)

f(x) = arccos(x) → f'(x) = -¹/_√1-x²

f(x) = arctan(x) → f'(x) = ¹/_1+x²

f(x) = arccot(x) → f'(x) = -¹/_1+x²

f(x) = sinh(x) = ^{ex - e-x}/₂ → f'(x) = cosh(x)

f(x) = cosh(x) = ^{ex + e-x}/₂ → f'(x) = sinh(x)

N.B.:

f(x) = ^{xm + x-m}/₂ → f'(x) = ^m/_m · x^{(m-1) / m} · x = m/m · x

f(x) = ¹/_x^m = x^-m → f'(x) = (-m) · x^-m-1

f(x) = ¹/_√x → f'(x) = ¹/_{x^m · √(x^-4)}