Esercizi Algebra e geometria lineare con svolgimento

Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ col variare del parametro k ∈ R, si considerino i seguenti vettori:

• v_k = (k, 0, k²)
• w_k = (-k, k, k-2)
• w = (0, 3, 2)

w_k ∧ v_k, w₃ = det

= k(2k - k²) + (k + 2)(-k) = k(0 + k²) - k² - 2k - 3k ≠ 0

-u ∧ k, v_k sono L.I. (u ∧ k, v_k) ≠ 0 = -k, 0, k² - k, v, k, k-2) -k² + k² - k 2k - k -2.

u ∧ k, w_k sono L.I. se esiste uno multiplo degli altri, questo moltiplica k = 0. Per k = 0 → w_k = (0, 0, 2) //v_k = (0, 0, 0) [per k ≠ 0 w_k L.I.]

Dimensione spazio vettoriale

Nello spazio vettoriale R[x] si consideri il sottoinsieme W:

spun {2 + x + x², 1 + x, 4 + x, x + x²}

a(2 + x + x²) + b(1 + x) + c(4 + x, x) = 0 m.c. a + b + c = 0

Det = 2 4 4, a + b + c = LI.(b_l + b + c) (a + c)x = (a + c)x²

Det | 2 1 4 | ≠ 0 2 · 1 - c (2, c) 1 | ≠ 0 | 1 1 1 | 1 3 le prime sono L.I. | 3 0 1 | dim W=3

Determinazione R₃

Si considerano le rette a) 3 − r & b) di quotizione cartesiana:

Rx + 2y + 3 = 2 3 | 3(x -2y out z) = 0 1 2 (3x - t) 4y - t) z +1(x - 2y - 2 = 3 2.3 | T1)det ( 4 7 ) 1 2 3 R 2 = R 13 1 4 L P 3 = 3 R 22 3 3 0 L R 2 | 0.0 | R 4 = L R 4 = R 2 1 0 -2 Rac. | R 4 - R 1 (1 2) 3 3 1 3 = 0 0 0 1 3

In ho retto = () atabix(tb = 3 T.) Il halte sono ⟂ incidenti

Vettori in R³ (Ripetizione)

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ al variare del parametro <...> Si considerino i seguenti vettori:

• u_K = (K, 0, K+2)
• u_K = (-K, K, K-5)
• w = (0, 3, 2)

wK = u_K ∧ ν_K, w₃ = det(K 0 K+2)(-K K K-5)(0 3 2)= K(2K - K+5) + (K+2) (-K)K (K(1+3) - K² - 2K)K ≠ 0-3K <0K, 1, ν_K salvo (1-5) 3K ν_K >0-K, 0, K+2, K, K, K-5, -K² + (K+2)(K-5)-K² + K² - K = 2K. - K - K, K = 0u_K ≠ ν_K salvo (1-5)k = 0u_K = (0, 2, 1) ν_K = (0, -9, 5)(a_K ≠ u_K)

Dimensione spazi

Nello spazio vettoriale R[x] si considera il sottospazio W=sp <x² + x + 2, 1 + x, 4, x + x³> < 2(x + x²) * <...α(x + x²)β= x<a, b+c x>3 primi elementi sono LI. dim W = 3 det(2 1 4)(1 1 0)(3 0 1)≠ 0: 2 - 11 + α +(2)3 primi elementi sono LI: dim W = 3

Proiezione ortogonale

Si considerano 6 rette ... di ... cartesianr)(x)1(x), 3(x + y + 2 = 3)s)

-2,1,3 >| 0 2 1 | 1| 3 4 1 | ->2| row2-3row1 | | row3-row2 |Prodotto scalare dei vettori generatori 0 - 5 - 5 - (2)

Rango e immagine

1) Sia A = _{0 -2 5 1 -1 2 1 0 -2 -3 1} e B = _{1 -1 0 0 2 2 0 1 1 1 0 1} Si considera l'applicazione...rango(A) = 3; rango A = 2

Terapia di molteplicità, rango e equilibrio...soggetto a ... sottospazio lectional di ...dim... 5dim ker ...dim R

Rango di matrici con parametro

A = k² 1 k² 0 (delle matrici in discussione, effetti su rango A, ecc...) ...rango A = 3 per k = 2K = 2

Conclusione

Esistono esattamente 2 valori per cui rango A = 220) Diagonalizzazione

Traccia e determinante

Sia A:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]

B = A − A^T

\[
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
5 & 1 \\
1 & 5
\end{pmatrix}
\]

è simmetrica e diagonalizzabile usando una base ortonormale di autovettori.

Diagonalizzazione con parametri

Si consideri la matrice AR:

\[
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 9 \\
-1 & K - 5 \\
-2 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\]

P(AK(λ)) = (A - λI) =

\[
\begin{pmatrix}
5 - λ & 0 & 9 \\
-1 & K - λ & -5 \\
-2 & 0 & -4 - λ
\end{pmatrix}
\]

= (K - λ) det

\[
\begin{pmatrix}
5 - λ & 9 \\
-2 & -4 - λ
\end{pmatrix}
\]
\]

PAK(ω) = (K - λ) (λ - 2) (λ + 1) & K ∈ {−2, 2} La matrice è diagonalizzabile se K = −1

d1 = 2 molt alg = 1 molt geo

d2 = 1 molt alg = 2

Per λ = −1

\[
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 9 \\
1 & 0 & 5 \\
2 & 3 & 3
\end{pmatrix}
\]

2R2 → R1

\[
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 9 \\
0 & 0 & 21 \\
2 & 3 & 3
\end{pmatrix}
\]

3R3 → R4 Per λ = 218 - 1 molt alg = molt geo = 3 d2 = 2 molt alg = 2

Per λ = 2

\[
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 9 \\
-1 & 0 & -5 \\
-2 & 0 & -6
\end{pmatrix}
\]

3R2 → R4

\[
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 9 \\
6 & 0 & 6 \\
6 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Traccia A = 23 - 2 = 1 per λ = 2

Esistono esattamente 2 URORI del K per cui AK non è diagonalizzabile.

Piani e rette

Si consideri il piano π₁ passante per P(3, 0, 1) e parallelo all'asse x:y=z:0 P(π): x = k z = 0, e il piano di passaggio per i punti Q(4,0,-1) ed R(6,0,1) parallelo al vettore (u, 4, 1) [3,1,1,2] Vr = a = 0 x = (x - 3), (y - 1), (z - 1) x + y + z = 0 x + y - 2 + z = 0 πVr = ha = = = x ed y sono mutuati ortogonale. Verificare per quali punti nello spazio è il punto di intersezione x - y - 1 y + z = 0 x per la retta per il piano x + y - z + 1 = 0

• 1/3
• 2/3
• 2/3

Sistemi lineari con parametro

Si considera il sistema lineare:

• 1x + 2y - z = 2
• 2x + 3y + z = k
• 4x + 5y = k²

8 8 k = 2 raggio A ≠ raggio A|B ⇒ non soluzioni 3-2 = 1 la dimensione delle soluzioni = uno spazio affine di dimensione 1 che ha una retta passante per l'origine.

Autovalori e autovettori

S.G. A = (1 0 1 | 3 2 0 | 3 1 0) raggio A - 1 ⇒ molt. geo = 3-1 = 2 = molt. geo criterio di diagonalizzabilità rispettato

Verifichiamo 8 (1 0 | 1 0 | 1 3) di nelle risposte rimanenti possibili e sono accettabili.