Algebra e Geometria - esercizi

Ingegneria informatica

Prova di geometria e algebra (Pica-Magro-Donati) del 24/01/2005

Cognome e nome: N°. matricola: Firma:

1) Basi di R³

Elencare le basi di R³ incluse nel sottoinsieme S = {(1,2,1),(-1,-2,0),(1,1,0),(0,0,1)}.

2) Sottospazi U e W

Siano U e W i sottospazi di R⁴ così definiti: U = {(x,y,z,t) / x + y + z – t = 0 e x – y + 2t = 0}

W = {(1,1,0,0),(0,2,1,1),(2,0,-1,-1)}

a) Quali dei seguenti sottoinsiemi sono basi di U+W?

• (1,1,0,0), (0,2,1,1),(1,3,1,1)
• (1,1,-2,0),(1,-1,-1,-1),(0,2,1,1),(1,0,0,0)
• (1,1,-2,0),(1,-1,-1,-1),(2,0,-1,-1)
• (1,-1,-1,-1),(0,2,1,1)

b) Quali dei seguenti vettori appartengono a U ∩ W?

• (0,1,1,1)
• (1,1,0,0)
• (3,-3,-3,-3)
• (0,0,1,1)

3) Endomorfismo F

Sia F con h Є R, l’endomorfismo di R³ così definito: F(x,y,z) = (x,y,y+hz).

Dire per quali dei seguenti valori di h l’endomorfismo F è diagonalizzabile:

• h = -1
• h = -2
• h = 1

4) Retta e piano nello spazio

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A =(1,0,1) e B =(1,0,0) e il piano α : x + 3y – z = 0.

a) Determinare una rappresentazione cartesiana della retta passante per il punto P = (0,1,1) ed ortogonale al piano α.

b) Rappresentare il piano contenente la retta r ed ortogonale ad α.

c) Rappresentare la retta per P, complanare con r e parallela ad α.

d) Determinare la retta contenente P, ortogonale e incidente la retta r.

Domande teoriche

Illustrare brevemente lo svolgimento dell’esercizio 3.

• Definizione di chiusura lineare
• Provare che ogni sottoinsieme libero di uno spazio vettoriale è incluso in una base
• Enunciare una condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile
• Enunciare e dimostrare una condizione analitica di ortogonalità tra due piani