Eq. di 1° grado
Eq. di 1° grado: ax = b
Se a ≠ 0 → ∃!x = b/a.
Se a = 0 → 0:
Se b = 0 → 0x = 0 ∀x (indeterminata).
Se b ≠ 0 → 0x = b impossibile ∄x ∈ ℝ.
y = mx + q (retta).
Se m = 0: retta // asse x.
Le rette parallele all'asse y non sono funzioni (infatti non sono descritte da y = mx + q).
Equazioni di 2° grado
Equazioni di 2° grado: ax2 + bx + c = 0.
Se a ≠ 0 moltiplico per 4a entrambi i membri:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 → 4a2x2 + 4abx = -4ac.
Completo il quadrato al 1° membro:
(2ax + b)2 - b2 - 4ac, sempre ≥ 0.
Se Δ > 0 i 2a × b ± √b2 - 4ac = 0 → x1,2 = (-b ± √b2 - 4ac)/2a, a ≠ 0.
Se Δ = 0: 2a × b ± √0 = 0 → x = -b/2a (2 volte).
Eq. di 1° grado e retta
Eq. di 1° grado: ax = b.
Se a ≠ 0 → 0x = b = b/a.
Se a = 0 → 0.
Se b = 0 → 0x = 0 ∀x (indeterminata).
Se b ≠ 0 → 0x = b impossibile ∄x ∈ ℝ.
y = mx + q (retta).
Se m = 0: retta // asse x.
Le rette parallele all'asse y non sono funzioni (infatti non sono descritte da y = mx + q).
Equazioni di 2° grado e discriminante
Equazioni di 2° grado: ax2 + bx + c = 0.
Se a ≠ 0 moltiplico per 4a entrambi i membri:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 → (4a2x2 + 4abx = 4ac).
Completo il quadrato al 1° membro:
(2ax + b)2 - b2 - 4ac = Δ.
Sempre ≥ 0.
Se Δ > 0, il 2ax ± b = ± √b2 - 4ac → x1,2 = (-b ± √b2 - 4ac)/2a, a ≠ 0.
Se Δ = 0: 2ax ± b ± √0 = 0 → x = -b/2a (2 volte).
Se Δ < 0: ( )2 (< 0) ∉ soluzioni.
Parabola
Parabola: y = ax2 + bx + c.
a > 0 a < 0.
Concavità verso l'alto concavità verso il basso.
Δ > 0: x1, x2 =
Δ = 0: x1 = x2 (tangente).
Δ < 0: la parabola non tocca l'asse x.
ax2 + bx + c ≥ 0.
y = ax2 + bx + c ≥ 0 (valori positivi della parabola).
Δ > 0, Δ < 0: x < x1 V x > x2.
Δ > 0, Δ = 0: ∀x (tangente all'asse x).
Δ > 0, Δ < 0: ∀x (sopra l'asse x).
Se a diminuisce la parabola si allarga (a = 0 -> retta) fino a cambiare direzione.
Se a aumenta la parabola si stringe.
Traslazioni
y = x2 - x = f(x) A ≡ (0,0) B(1,0).
xv = -b/2a = 1/2, yv = -(1/2)2 - 1/2 = -1/4 ∆ V (1/2, -1/4).
Sostituisco in f(x).
f(x-1) = (x-1)2(x-1).
Indica una traslazione verso destra (solo l'asse x):
A'(1,0) B'(2,0) V(3/2, -1/4).
f(x+2) = (x+2)2(x+2) = traslazione verso sinistra (solo la x):
A'(-2,0) B'(-1,0) V(-3/2, -1/4).
f(x)+5 = y = traslazione verso l'alto (solo la y):
A(0,5) B(1,5) V(1/2, 9/4).
f(x)-2 = y = traslazione verso il basso (solo la y).
Non importa l'ordine con cui applico le traslazioni.
y = (x-1) log(x-1) + 2 → y = x log x con le traslazioni.
Funzioni potenza e radicali
y = xn con n ∈ IN.
n pari: forma simile alla parabola.
n dispari: n = 1: retta.
n ≥ 3: forma simile alla cubica.
y = n√x se n è pari:
x ≥ 0.
y ≥ 0.
I quadrante.
Esercizi
- (x-2)(x+1)
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
-
![Statistica - Esercitazioni]()
Statistica - Esercitazioni
-
![Analisi matematica 1, esercitazioni]()
Analisi matematica 1, esercitazioni
-
![Esercitazioni esame Analisi 1]()
Esercitazioni esame Analisi 1
-
![Analisi Matematica 1 - Esercitazioni]()
Analisi Matematica 1 - Esercitazioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
