Esercitazione sulle Curve (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 2 Analisi Matematica II Curve

Esercizio 2.1

Studiare le proprietà delle seguenti curve in R² oppure espresse in R³ forma stabilire per ognuna di esse se è chiusa, semplice, di classe C¹, parametrica: regolare, regolare a tratti. Rappresentare inoltre, se possibile, il loro sostegno nel piano o nello spazio.

• A) r(t) = (t², t⁴), t [−1, 2];
• B) r(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t [0, 2⇡] (cicloide);
• C) r(t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2⇡] con pt sostituita da una qualsiasi funzione monotona: t^1/2, t log t, e^t, ... (elica – si possono fare varianti con);
• D) r₁: t [0, 1], x = e^2t, y = 2e^t, z = t; r₂: t [0, 1], x = t², y = 2t, z = t − 1.

Determinare poi l’angolo che i sostegni delle due curve formano nel punto P (1, 2, 0).

Esercizio 2.2

Studiare le proprietà della seguente curva in R² espressa come grafico stabilire se è chiusa, semplice, di classe C¹, regolare, regolare di una funzione y = f (x): a tratti. Rappresentare inoltre il suo sostegno nel piano e calcolarne la lunghezza.

R² {(x, y) : y = log x, x [1, 2]}

Esercizio 2.3

Studiare le proprietà delle seguenti curve in R² espresse in forma polare: stabilire per ognuna di esse se è chiusa, semplice, di classe C¹, regolare, regolare a tratti. Rappresentare inoltre, se possibile, il loro sostegno nel piano.

• A) ϱ = e^θ, θ [0, ⇡] (spirale – si possono fare varianti con qualsiasi tipo esponenziale di funzione monotona: ϱ = log θ, ϱ = θ, ϱ = θ^1/2, ϱ = θ², ...);
• B) ϱ = 1 + cos θ, θ [0, 2⇡] (cardioide).

Esercizio 2.4

Determinare una parametrizzazione della curva di equazione x² + y² − 4x − 2y − 4 = 0 percorsa a partire dal punto P (5, 1) in senso antiorario.

Esercizio 2.5

Determinare una parametrizzazione del segmento che unisce i due punti A(3, 1) e B(−1, 9), percorso da A a B.

Esercizio 2.6

Sia data la curva espressa come luogo dei punti (x, y) in R² che soddisfano l’equazione x² − 2x + y² = 0. Determinare una parametrizzazione della curva in coordinate polari centrate nell’origine degli assi.

Esercizio 2.7

Per ciascuna delle seguenti curve in forma parametrica si ricavi la rappresentazione cartesiana e si studino le principali proprietà aiutandosi con un grafico:

• A) r(t) = (2t − 1, t² + 3), t R;
• B) r(t) = (t³ + t, t²), t R;
• C) r(t) = (t³ − t, t²), t R;
• D) r(t) = (cos t, sin t), t [0, 2⇡];
• E) r(t) = (sin t, 1 − cos t), t [0, 2⇡].
• F) r(t) = (cos 2t, sin t), t [0, 2⇡];

Esercizio 2.8

Si considerino le curve seguenti in R² (la prima espressa come funzione y = f (x), la seconda come curva in coordinate polari ϱ = g(θ) = 1):

x = t, y = √(1 − t²), t [−√2/2, √2/2]; x = cos θ, y = sin θ, θ [5⇡/4, 7⇡/4].

Dopo avere studiato le usuali proprietà per ciascuna delle due curve ed averne disegnato il supporto, mostrare che sono curve equivalenti determinando una funzione t = φ(θ) che permette di passare dall’una all’altra curva. Determinare poi per ognuna la lunghezza della curva e il parametro arco s in funzione del parametro che esprime e.

Determinare poi la parametrizzazione tramite il parametro arco partendo da e da e osservare che la parametrizzazione ottenuta è la stessa.

Esercizio 2.9

Si consideri la curva seguente: x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t, t [−⇡, ⇡]. Dopo averne determinato le usuali proprietà, calcolare la lunghezza della curva.

Esercizio 2.10

Si consideri la curva seguente (astroide): x = cos³ θ, y = sin³ θ, θ [0, 2⇡]. Dopo averne determinato le usuali proprietà, calcolare la lunghezza della curva.

Esercizio 2.11

Determinare la lunghezza della curva parametrizzata da r(t) = (t, log t, 2√(2t)), t [1, 3].

Esercizio 2.12

Determinare la lunghezza del grafico della funzione f : [1/2, 3/2] → R definita da f (x) = ∫_1/2^x √(t − 1)² / √(1 − t²) dt, x [1/2, 3/2].

Esercizio 2.13

Data la curva r(t) = (√5/5 t⁵, 3/4 t⁴ − 2/3 t³), t [0, 1], stabilire se è chiusa, semplice, di classe C¹, regolare. Calcolare poi la sua lunghezza.

Esercizio 2.14

Data la curva piana, con parametrizzazione in forma polare ϱ = (e^θ + 1) cos θ, θ [−⇡/2, ⇡/2], scrivere un’equazione della retta tangente a nel punto P (2, 0).

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 2 Analisi Matematica II Curve

Esercizio 2.1

Studiare le proprietà delle seguenti curve in R² oppure espresse in R³ forma stabilire per ognuna di esse se è chiusa, semplice, di classe C¹, regolare, regolare parametrica: a tratti. Rappresentare inoltre, se possibile, il loro sostegno nel piano o nello spazio.

Punto a

r(t) = (t², t⁴), t [−1, 2].

La variabile va da −1 e 2, per essere chiusa deve succedere che r(−1) = r(2). Siccome r(−1) = (1, 1) e r(2) = (4, 16) ≠ r(−1), la curva non è chiusa.

Osserviamo che per t [−1, 1], r(−t) = r(t), per cui la curva non è semplice.

Abbiamo r′(t) = (2t, 4t³), quindi la curva è di classe C¹ (risulta anche di classe C^∞).

Siccome r′(0) = (0, 0) = 0, la curva non è regolare. D’altra parte, abbiamo r′(t) ≠ 0 se t ≠ 0, per cui la curva è regolare su [−1, 0) ∪ (0, 2] ma non è regolare a tratti (infatti, essendo continua la derivata, lim_t→0 r′(t) = r′(0) = 0).

Osserviamo che se (x, y) = r(t) = (t², t⁴), allora y = t⁴ = (t²)² = x², per cui tutti i punti della curva stanno sulla parabola di equazione y = x². Per avere che un punto P (x, y = x²) della parabola sia un punto dell’arco di curva, dobbiamo avere x = t² per qualche t [−1, 2]. La prima richiesta è che x sia non negativo. Se questo avviene esiste t = √x con x = t², quindi −1 ≤ t ≤ 2. Per avere inoltre cioè serve 0 ≤ x ≤ 4 (ATTENZIONE: non è 1 ≤ x ≤ 4). L’altro tale che x = t² è t = −√x ma non dà nessun supplementare: per avere −1 ≤ t ≤ 2 serve 0 ≤ x ≤ 1 (perché?). Quindi i punti dell’arco di curva sono tutti e soli i punti della parabola con 0 ≤ x ≤ 4 (quelli tra 0 e 1 percorsi due volte).

Sostegno della curva (in nero i punti che corrispondono ai R \ [0, 2x 4]) 11. y 20 15 10 5 x 2 4

Osserviamo che t = 0 corrisponde a x = 0 in cui la curva non è regolare ma la parabola sì. La ragione è che il punto sta “tornando indietro” sulla parabola, quindi arriva in quel punto con velocità nulla. Se avessimo invece di R² t², t [−1, 2], allora avremmo avuto la parte destra della parabola percorsa per intero, due volte, e l’origine come punto singolare.

Punto b

r(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t [0, 2⇡] (cicloide).

La variabile va da 0 e 2⇡, per essere chiusa deve succedere che r(0) = r(2⇡). Siccome r(0) = (0, 0) e r(2⇡) = (2⇡, 0) ≠ r(0), la curva non è chiusa.

Poniamo x(t) = t − sin t, cioè la prima componente di r(t). Abbiamo allora x′(t) = 1 − cos(t) ≥ 0 e i punti in cui x′(t) = 0 sono i t ∈ 2⇡Z. Perciò la funzione è strettamente crescente. Abbiamo quindi, per t₁ < t₂, x(t₁) < x(t₂). Perciò r(t₁) ≠ r(t₂). La curva è semplice (e non è chiusa come lo abbiamo già visto sopra).

Abbiamo r′(t) = (1 − cos t, sin t), quindi la curva è di classe C¹ (risulta anche di classe C^∞).

Siccome r′(0) = (0, 0) = 0, la curva non è regolare – neppure a tratti. D’altra parte, abbiamo r′(t) = 0 se e solo se t = 2k⇡ per cui gli unici punti in cui la curva non è regolare sono i multipli di 2⇡.

Osserviamo che la x cresce da 0 a 2⇡. La y cresce fino a t = ⇡, in cui r(⇡) = (⇡, 2), poi decresce. Abbiamo r(2⇡ − t) = (2⇡ − t − sin(2⇡ − t), 1 − cos(2⇡ − t)) = (2⇡ − t + sin t, 1 − cos t) = (2⇡ − (t − sin t), 1 − cos t), quindi il punto che corrisponde a 2⇡ − t è il simmetrico del punto che corrisponde a t rispetto alla retta di equazione x = ⇡: stessa coordinata y, la coordinata x diventa 2⇡ − x.

Possiamo studiare più precisamente quello che succede nei punti in cui si annulla usando il versore tangente e(t) = r′(t) / |r′(t)|.