esercitazione - derivate

Punti stazionari e teorema del valore medio

Oltre altro solo x - a => x => (f(z) - f(x)) / (z - x) ≤ 0 e quindi f'(x)=lim (f(z)-f(x)) / (z-x) ≤ 0

Punti f e derivabili in x due essere f'(x)=f - f = 0

e poi, in cui f' si annulla z? dicono punti stazionari per f

Si dice punto stazionario (f'(x)=0) che non sono di estremo (quali in funzione di y crescente)

Ad esempio la funzione f(x)=x³ ha f'(0)=0 ma x=0 è un punto di flesso

Del valore medio o di Lagrange

(Del valore medio o di Lagrange)

Su f derivabile in (a,b) e continua in [a,b] allora

exists c in (a,b) t.c.

(f(b)-f(a)) / (b-a) = f'(c)

DIM z0 nella AB ha equazione:

y = f(a) + (f(b)-f(a)) / (b-a) (x-a)

Consideriamo la funzione w(x)= f(x) - [f(a) + (f(b)-f(a)) / (b-a) (x-a)]

w è continua in [a,b] e derivabile in (a,b)

w(a)=0 = w(b)

w'(x)= f'(x) - (f(b)-f(a)) / (b-a)

Dei teoremi

Dei teoremi solo x → x⁺ ⇒ [f(z)-f(x)]/(z-x) ≥ 0 e quindi f'(x) = lim [f(z)-f(x)]/(z-x) ≥ 0

Poni f' il derivabile in x deve essere f'⁺(x) = f'^-(x) = 0

E dunque si conclude che deve avere punti stazionari per f

I punti più importanti sono i punti stazionari (f'(x)=0) che non sono di estremo (quasi di flesso a y orizzontale)

Ad esempio, la funzione f(x)=x³ ha f'(0)=0 ma x=0 è un punto di flesso a tg orizzontale

Teorema del valore medio o di Lagrange

(Del valore medio o di Lagrange)

Se A è derivabile in [a,b] e continua in [a,b] allora ∃ c ∈ (a,b) t.c. [f(b)-f(a)]/(b-a) = f'(c)

Dim. se nella AB ha equazione

y = f(a) + [f(b)-f(a)]/(b-a) (x-a)

Consideriamo la funzione w(x) = f(x) - [f(a) + [f(b)-f(a)]/(b-a) (x-a)]

w è continua in [a,b] e derivabile in (a,b)

w(a) = 0 = w(b)

w'(x) = f'(x) - [f(b)-f(a)]/(b-a)