Esercitazione su: Formule di Taylor (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di ingegneria - foglio 7

Analisi matematica II

Derivazione di funzioni composte, formula di Taylor, punti critici

Derivazione di funzioni composte

Calcolare la derivata della funzione dove

Esercizio 7.1

g(t) = f (r(t)), f (x, y) = x y sin x
Prima direttamente, poi come funzione composta.
r(t) = (e^t, sin t).

Abbiamo g(t) = e^t (sin t) sin e^t, quindi g'(t) = e^t (cos t) sin e^t + e^t (sin t) e^t cos e^t.

Poi come funzione composta. Abbiamo ∂f (x, y)/∂x = y cos x e ∂f (x, y)/∂y = sin x. r'(t) = (e^t, cos t).

La derivata come funzione composta è...

Esercizio 7.2

Sia derivabile in R³ e tale che r: t = 0, r(0) = r^'(0) = 0. Calcolare (f ∘ r)'(0).

Siano date le tre funzioni f (x, y, z) = e^{x + y2} (x cos z).

Esercizio 7.3

g(t) = t² + 2t, f (x, y) = e^{x + 2y}, h(x, y) = y. Calcolare prima utilizzando la formula di derivazione della funzione composta e poi direttamente.

Esercizio 7.4

Sia g tale che g(4) = 2, f (x, y, z) = (y + sin z)e^x2. Calcolare la derivata direzionale della funzione composta lungo il versore v = (1, 1, 1) nel punto (0, 2, √3).

Formula di Taylor

Esercizio 7.5

Scrivere lo sviluppo di Taylor, al primo ordine con resto di Lagrange e al secondo ordine con resto di Peano, centrato nel punto indicato per le funzioni seguenti:

• In √2: f (x, y) = y cos x, P (√2, 1).
• In √x: f (x, y) = e sin y, P (0, 2).
• In √: f (x, y) = (x + y) sin y, P (0, 2).
• In 3: f (x, y) = x² + xy + y, P (1, 1).
• In y: g(x, y, z) = e^y cos(x + z), O(0, 0, 0).

Esercizio 7.6

Dai seguenti sviluppi di Taylor, quali informazioni locali si possono dedurre sulla funzione f?

• f (1 + h, 1 + k) = 3 + (h² - 3hk + 2k²) + o(h² + k²), (h, k) → (0, 0).
• f (2 + h, 1 + k) = 1 + (h² + 2hk - k²) + o(h² + k²), (h, k) → (0, 0).
• f (h, 1 + k) = 1 + (h² - hk + k²) + o(h² + k²), (h, k) → (0, 0).
• f (1 + h, 1 + k) = 8 + (h² + hk + k²) + o(h² + k²), (h, k) → (0, 0).
• f (h, k) = (2h² - 2hk) + o(h² + k²), (h, k) → (0, 0).

Punti critici

Esercizio 7.7

Ricercare e classificare i punti critici (o stazionari) delle seguenti funzioni:

• f (x, y) = x³ + xy + xy.
• f (x, y) = xy(x² + y - 1).
• f (x, y) = x⁴ - x²y² - 2x² + 2y.
• f (x, y) = |xy|(x + y - 1).
• f (x, y, z) = 1/x + 1/y + 1/z + xyz.
• f (x, y) = x²y - x³y + x - y² + 1.
• f (x, y) = x²y + x - 2y.
• f (x, y) = log(1 + x²y²).
• f (x, y) = xy - y + 3.
• f (x, y) = x⁴y + 2(x²y) + 15.
• f (x, y) = x²((y - 1)² + x² - 1).