Esercitazione prova esame Analisi matematica I

Trascrizione e appunti di analisi

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Funzione esponenziale con radice e valore assoluto

6) f(x) = e^1/x√|x+5|-1

D.? f'(x)?.

D = {x ∈ ℝ | x ≠ 0. |x+5|-1 ≥ 0}

|x+5|-1 ≥ 0

(x+5) ≥ 1

x ≥ -4 opp. x+5 ≤ -1

x ≤ -6

D = ]-∞,-6] ∪ [-4,0[ ∪ ]0,+∞[

f¹' = ?

Osservazioni sul valore assoluto

oss 1) y = √x, x > 0

2) y = |x| = { x, x ≥ 0; -x, x < 0 }

y' = { 1, x > 0; -1, x < 0 }

y è derivabile quando x ≠ 0

se x ≠ 0 allora y è derivabile

è della funzione segno

segno(x) = { +1, x > 0; -1, x < 0 }

se x ≠ 0 allora f(x), |x| è derivabile e f'(x) = segno x

(|x|)' = segno x ∀x ≠ 0

------------------------------------

Se |x+5| ≠ 0 => il |.| è derivabile, d'altra parte x ≠ -5 nel D.

Se √|x+5| - 1 ≠ 0 => la √ è derivabile, poiché x ≠ -4 e x ≠ -6 allora la radice ≠ 0.

La radice è derivabile.

Il |x+5| è derivabile nel D (-5 ∉ D).

x ∈ D e x +-6.6 allora f è derivabile.

f(x) = e^1/x √|x+5|-1

f^'(x) = ?

Derivata del I fattore cioè e^1/x

f^'(x) = e^1/x (-x^-2)

Derivata dell'exp.

Derivata dell'esponente.

√|x+5|-1

Derivata della radice.

e^1/x (12 √|x+5|-1 opn (x+5)

Derivata dell'opn della radice.

((x+5)^-1)' = segno (x+5)1

Derivata dell'esponente del 1.

Derivata del valore assoluto di un polinomio

12) f(x) = |x²-3x|

f^' = ?

Se x²-3x ≠ 0 cioè x(x-3) ≠ 0 cioè:

• X ≠ 0
• X ≠ 3

Allora f è deriv.

f^'(x) = segno (x²-3x)(2x-3)

Derivata del valore assoluto.

Derivata dell'esponente del 1.

(x² - 3x)' = 2x-3

Limite e continuità con parametro

lim_x→0 f(x) = ?

f(x) = { c³ - x³, x ≤ 0; x ln (1+ e^c/x), x > 0 }

c = ?

lim_x→0⁻ f(x) = lim_x→0⁻ (c³ - x³) = c³

lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ x ln (1+ e^c/x) = ?

x ln (1+ e^c/x)

x→0 _x→0⁺

x→0 → 0

e^c/x, x→0⁺ → +∞, c > 0

x→0⁺ → 0, c < 0

f(x) = { -x³, x ≤ 0; x ln 2, x > 0 }

= { -x³, x ≤ 0; x ln 2, x > 0 }

f(0) = -0³ = 0

lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ x ln 2 = 0

lim_x→0⁻ f(x) = lim_x→0⁻ 0 - (x³) = 0

⇒ 0 = f(0)

f è continua

1 caso c > 0

lim_x→0⁻ f(x) = c³

lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ x ln (1 + e^c/x) = {0> 0>> c > 0

lim_x→0^- f(x) = lim_x→0⁺ f(x) se e solo se c = 0

= c³ = o⁰

Logaritmo con radice

3) f(x) = ln(√x+1 - x)

D.? f'?.

D = {x ∈ ℝ | |√x+1 > 0|, |√x+1^' - x > 0|}

x ≥ -1

√x+1 - x > 0 ⟺ √x+1 > x (X)

x≥0 e |x+1 ≥ 0| allora la dim. (x) è soddisfatta - cioè X x ∈ D

Se invece x ≥ 0 e |x+1 ≥ 0| allora possiamo elevare al quadrato entrambi i membri della diseq (x).

√x+1 > x ⟺ (√x+1)² > x² ⟺ x+1 > x²

⟺ x² - x -1

Δ = 1 + 4 = 5 > 0

x₁,₂ = 1 ± √5 ——————— 2

⟹ 0 ≤ x ≤ (1+√5) ——————— 2

D = ]-3,0[ ∪ [0, (1 + √5) ——————— 2 [ = [-1, (1 + √5) ——————— 2 [

f(x) = ln(√x+1 - x)

f'?.

Se x+1 > 0 cioè x ≠ -1 ⟹ ∃ f' e

f'(x) = ¹⁄_{3√x + 1 - x} ( ¹⁄_{2√x + 1} - 1 )

Studio della monotonia

Studiare la monotonia?

Cioè studiamo il segno di f' e applichiamo il test di monotonia (negli intervalli).

f'(x) = ( ¹⁄_{2√x + 1 - x} ) ( ¹⁄_2√x - 1 ) > 0

V O in D ⇔ ¹⁄_2√ - 1 ≥ 0

⇔ ^{1 - 2√x + 1}⁄_{2√x + 1} ≥ 0

V O

⇔ 2√x + 1 ≤ 1

⇔ √(x + 1) ≤ 1...

"Guido Veloce"

Reciproco

¹⁄₂ ≥ 1    ⇔ 2√x + 1 ≤ 1...

oss ¹⁄_{2(x + 3)} - 1 ≥ 0

⇔ ¹⁄_{2(x + 3)} ≥ 1?

q ⇒ 2(x + 3) ≤ 1

u Od ≤ 1 ⇐ 1/d ≥ 1

d → -3

-3 ≤ 1 ⇐ -1/3 ≥ 1

1/2(x+3) - 1 ≥ 0 ⇔ 1 - 2(x+3)/2(x+3) ≥ 0

a=0 -2x-5/2(x+3) ≥ 0

⇔ 0(e)

Limite con sviluppi asintotici

lim_x→0 (2x - 3e^x + e^3x - 1) / ((1+x)^1/3 - 1) ⇔ 0

e^ux ≍ x + o(x)

x → 0

(e^t - 1) / t ⇔ 1

t → 0

e^t = 1 + t + o(t)

t → 0

(1+t)^α - 1 / t ⇔ α

t → 0

∀α ∈ ℝ

(1+t)^α = 1 + αt + o(t)

2x - 3ex + e^3x - 1 / (1+x)^1/3 - 1 = 2x - x + o(x)

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