Esercitazione 9 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità e statistica foglio 9

Ingegneria automatica e informatica a.a. 2021/2022

Il 65% della popolazione di una vasta comunità è a favore di una proposta di aumento delle tasse scolastiche.

Esercizio 1

Approssimare la probabilità che un campione casuale di 100 persone contenga:

• (A) Almeno 50 persone favorevoli alla proposta
• (B) Tra 60 e 70 persone favorevoli alla proposta
• (C) Meno di 75 persone favorevoli alla proposta

Esercizio 2

1. Una stazione dei vigili del fuoco deve essere realizzata lungo una strada di lunghezza A. Se gli incendi possono avvenire in punti scelti uniformemente in (0, A), dove deve essere localizzata la stazione al fine di minimizzare la distanza attesa dall’incendio? In altre parole, scegliere a in modo da minimizzare E[|X - a|] quando X è uniforme su (0, A).

2. Si supponga che la strada sia infinita (da 0 a ∞). Se la distanza di un incendio dal punto 0 è esponenzialmente distribuita con tasso λ, dove deve essere localizzata la stazione? In altre parole, si vuole minimizzare E[|X - a|], con X esponenziale di parametro λ.

Esercizio 3

Un ospedale è localizzato al centro di un quadrato i cui lati hanno lunghezza 3 chilometri. Un’ambulanza lascia l’ospedale non appena c’è un incidente. La rete stradale è “rettangolare”, ovvero la distanza dall’ospedale, le cui coordinate sono (0, 0), al punto dell’incidente (di coordinate (x, y)) è |x| + |y|. Se un incidente avviene in un punto uniformemente distribuito nel quadrato, qual è il valore atteso della distanza percorsa dall’ambulanza per raggiungere il luogo dell’incidente?

Esercizio 4

Calcolare la varianza di una variabile aleatoria uniforme nell’intervallo (a, b).

Esercizio 5

Calcolare la varianza di una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ.

Esercizio 6

Siano U₁ e U₂ due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme in (0, 1) e siano Y = max(U, V) e X = min(U, V). Determinare la distribuzione e la densità di Y e X.

Esercizio 7

Il vettore aleatorio (X, Y) è detto uniformemente distribuito sulla regione del piano R se, per qualche costante c, la sua densità congiunta vale:

f(x, y) = c se (x, y) ∈ R
f(x, y) = 0 altrimenti

Mostrare che 1/c = area della regione R.

Si supponga che (X, Y) sia uniformemente distribuito sul quadrato centrato in (0, 0) e con lati di lunghezza 2. (A) Mostrare che sono indipendenti e, entra