Esercitazione 3 Calcolo delle probabilità e statistica

Es.1

A: { la mano contiene 2 carte di picche }B: { la mano contiene ALMENO una carta di cuori }S: { tutte le mani di 5 carte prese da 52 }

Ci interessa l'evento AB e quindi: P(AB)

Se avessimo dovuto calcolare solo P(B) e questo non si sarebbe potuto fare calcolando:

P(S) - P(B^c) = P(B)

P(B|A) = P(S|A) - P(B^c|A)                P(A)   AB = A ∩ AB^c

Ma quanto vale P(A)?

P(A) = ^{(13 sopra 2) (39 sopra 3)}      (52 sopra 5)

P(B^c|A) = ^{(13 sopra 2) (26 sopra 3)}   "2 picche e nessun cuori"      (52 sopra 5)

P(AB) = ^{(13 sopra 2) (39 sopra 3) (26 sopra 3)}      (52 sopra 5)

→ VEDIAMO COME POSSIAMO RISOLVERLO CON LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA   ^P(EF)P(E|F) =      → è come restringere lo spazio degli esiti ad F      P(F)P_F(E) è ancora una probabilità

P(AB) = P(A) P(B|A)                1 - ^{(26 sopra 3)}      come      (39 sopra 3)      sopra           [ 1 - P(B^c|A)]

Es. 1

A = {la mano contiene 2 carte di picche}

B = {la mano contiene ALMENO una carta di cuori}

S = {tutte le mani di 5 carte prese da 52}

Ci interessa l'evento AB e quindi: P(AB)

Se avessimo dovuto calcolare solo P(B) e questo non so se potevo farlo calcolare

P(S) - P(B^c) = P(B)

P(B|A) = P(SA) - P(B^cA)

P(A)

Ma quanto vale P(A)?

P(A) = ( ₁₃C₂ ) ( ₃₉C₃ )

( ₅₂C₅ )

"2 picche e nessun cuori"

P(B^c|A) = ( ₁₃C₂ )( ₂₆C₃ )

( ₅₂C₅ )

P(AB) = ( ₁₃C₂ )

( ₃₉C₃ )

( ₂₆C₃ )

( ₅₂C₅ )

VEDIAMO COME POSSIAMO RISOLVERLO CON LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

P(E|F) = P(EF)

P(F)

è come restringere lo spazio degli estratti ad F

P_F(E) è ancora una probabilità

P(AB) = P(A) P(B|A)

1 - ( ₂₆C₃ )

( ₃₉C₃ )

[1 - P(B^c|A)]

Es. 2

m palle distribuiti a caso N scatole

A = "m palle nella scatola 1 e (m-m) no"

S. = "m palle distribuite in qualche modo"

Assumiamo disposizione "equiprobabile"

P(A) = ^|A|/_|S|

|S| = N^m

Ad ognuna delle m paline assegniamo una delle

N etichette (scatole)

|A| = ^1m/₁ (N-1) ^m-m

PERCHE avevamo messo LE PRIME m e no

non è il calcolo questo, quindi moltiplichiamo

per il numero

di modi

di scegliere m

palline da m

P(A₁) = ¹/_N

P(A_i;A_j) = ¹/_N * ¹/_N - (¹/_N)²

P(A_i, ... , A_m) = (¹/_N)^m

Stiamo cercando P(A_iA_i2,..,A_im,A^c_j,...,A^c_m-m)

(^m/_m) (¹/_N)^m (^N-1/_N)^m-m

Es. 3

4 coppie sposate in fila, qual è la probabilità che nessun marito sieda vicino a sua moglie.

S = { tutte le permutazioni di 8 persone }

|S| = 8!

A^C = { nessun marito è vicino alla moglie }

A_i = { i-esimi marito e moglie vicini }

A = ⋃_i=1³ A_i = { almeno un marito vicino alla moglie }

P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - P( ⋃_i A_i )

P ( ⋃_i A_i ) = Σ P(A_i) - Σ P(A_iA_j) + Σ P(A_iA_jA_k) - P(A₁A₂A₃A₄)

P(A₁) P(A₂) ... P(A₄)

P(A₁, A₂) ... P(A₃ A₄)

P(A₁, A₂, A₃) ... P(A₁ A₂ A₃ A₄)

P(A_i) = ^2·7!/_8! (8 - N COPPIE)

P(A_i; A_j) = ^22(6)!/_8!

P(A_i; A_jA_k) = ^{23 5!}/_8!

P(A₁A₂A₃A₄) = ^{24 4!}/_8!

[^{2(3-k) k!}/_8!]

P ( ⋃₁ⁱ A_i) = ( ⁴/₁ ) ^2·7!/_8! + ( ⁴/₂ )^{22 6!}/_8! + ( ⁴/₃ ) ^{23 5!}/_9! + ( ⁴/₄ ) ^{24 4!}/_9! = P(A)

Es.5

1. IL NUMERO NON CONTIENE IL 6

   A_i: {la i-esima cifra non è 6}

   Siamo d'accordo P\left(\bigcap_{i} A_{i}\right) = P(A_{1})P(A_{2})\ldots = \left(\frac{9}{10}\right)^{6}

2. uguale a 1
3. il numero contiene la stringa 2345

   A_i = {la stringa 2345 compare a partire dalla posizione i}

   A = {la stringa 2345 compare da qualche parte?}

   A = \bigcup_{i=1}^{3} A_i

   P(A) = \sum_{i} P(A_{i}) - \sum_{1 \le i < j \le 3} P(A_{i}A_{j}) + P(A_{1}A_{2}A_{3})

   P(A_i) = \left(\frac{1}{10}\right)^{4} = \frac{10^{2}}{10^{6}} = \frac{1}{10^{4}}

4. \begin{array}{cccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & \\ a_{1} & u_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{5} & a_{6} \end{array}

   L'intersezione tra A₁ e A₂ non è più \O, ma consideriamo:

   • A₁ = {a₁=2, a₂=2, a₃=2, a₄=2}
   • A₂ = {a₁≠2, a₂=2, a₃=2, a₄=2, a₅=2}
   • A₃= {a₂≠2, a₃=a₄=a₅=a₆=2}

   Allora A = \bigcup_{i} A_i

   P(A) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3}) - \left(\frac{1}{10}\right)^{4} \cdot 1^{2} + \frac{9}{10}\left(\frac{1}{10}\right)^{4} \cdot 1 + 1 \cdot \frac{9}{10} \left(- \frac{1}{10}\right)^{9}