Esercitazione 8 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità e statistica - foglio 8

Ingegneria automatica e informatica a.a. 2021/2022

Esercizio 1

Sia X una variabile aleatoria di Poisson con parametro λ. Calcolare E[1 + X].

Esercizio 2

Se X è una variabile normale con parametri μ = 10 e σ² = 36, calcolare:

• (A) P(X < 4)
• (B) P(X > 16)
• (C) P(4 < X < 16)

Esercizio 3

Si supponga che X sia una variabile aleatoria normale con media μ. Se P(X > 9) = 0.2, quanto vale approssimativamente Var(X)?

Esercizio 4

Il 65% della popolazione di una vasta comunità è a favore di una proposta di aumento delle tasse scolastiche. Approssimare la probabilità che un campione casuale di 100 persone contenga:

• (A) Almeno 50 persone favorevoli alla proposta
• (B) Tra 60 e 70 persone favorevoli alla proposta
• (C) Meno di 75 persone favorevoli alla proposta

Esercizio 5

Lo spessore (in centimetri) di una lamina di alluminio prodotta in una data fabbrica è distribuita normalmente con μ = 0.9000 e σ = 0.0025. La lamina è considerata difettosa se il suo spessore supera i limiti di ±0.0050.

• (A) Qual è la percentuale di lamine difettose?
• (B) Qual è il massimo valore di σ per cui non vi sia più dell’1% di lamine difettose?

Esercizio 6

La funzione di densità di X è data da:

f(x) = a + bx per 0 < x < 1, altrimenti f(x) = 0.

Se E[X] = 3/5, determinare a e b.

Esercizio 7

Un punto è scelto a caso su un segmento di lunghezza L. Calcolare la probabilità che il rapporto fra il (sotto)segmento più corto e quello più lungo sia minore o uguale a 1/4.

Esercizio 8

La funzione di densità congiunta di X e Y è data da:

f(x, y) = (x + y)e^{−(x + y)} per x > 0, y > 0, altrimenti f(x, y) = 0.

X e Y sono indipendenti? Se, invece, fosse data da:

f(x, y) = 2 per 0 < x < y, 0 < y < 1, altrimenti f(x, y) = 0.

Sarebbero indipendenti X e Y?

Esercizio 9

1. Una stazione dei vigili del fuoco deve essere realizzata lungo una strada di lunghezza A. Se gli incendi possono avvenire in punti scelti uniformemente in (0, A), dove deve essere localizzata la stazione al fine di minimizzare la distanza attesa dall’incendio? In altre parole, scegliere un modo da minimizzare E[|X − a|] quando X è uniforme su (0, A).

2. Si supponga che la strada sia infinita (da 0 a 1). Se la distanza di un incendio dal punto 0 è esponenzialmente distribuita con tasso λ, dove deve essere localizzata la stazione?