Esercitazione 7 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità e statistica - Foglio 7

Ingegneria Automatica e Informatica a.a. 2021/2022

Esercizio 1

Sia X una variabile aleatoria geometrica con parametro p. Calcolare P(X > n) e P(X > n + s | X > s).

Esercizio 2

Siano X e Y due variabili aleatorie di Bernoulli i.i.d. con parametro p. Definiamo U = X + Y e V = |X - Y|. Sono U e V indipendenti?

Esercizio 3

L'urna A contiene 4 palle bianche e 3 nere; l'urna B contiene 3 palle bianche e 7 nere. Si sceglie un'urna a caso da cui si pesca una palla. Qual è la probabilità che la palla pescata sia nera? Se la palla è bianca, qual è la probabilità che sia stata scelta l'urna A?

Esercizio 4

Una singola carta viene rimossa, a caso, da un mazzo di 52 carte. Dal resto del mazzo si pescano due carte che risultano essere delle picche. Qual è la probabilità che anche la prima carta fosse di picche?

Esercizio 5

Una sera, un portiere confuso prova ad appendere chiavi ai rispettivi ganci, ma riesce soltanto ad appenderle indipendentemente a caso (nessun limite al numero di chiavi appese a ciascun gancio). Determinare un'espressione per la probabilità che almeno una chiave sia stata appesa al proprio gancio.

La sera seguente, dopo essere stato rimproverato dall'amministratore, il portiere sta attento ad appendere una sola chiave a ciascun gancio, ma riesce soltanto ad appendere le chiavi a caso. Determinare un'espressione per la probabilità che nessuna chiave sia appesa al proprio gancio.

In entrambi i casi determinare il valore atteso e la varianza del numero di chiavi appese al proprio gancio.

Esercizio 6

Si supponga che X e Y siano due variabili aleatorie identicamente distribuite (non necessariamente indipendenti). Mostrare che Cov(X - Y, X + Y) = 0.

Esercizio 7

Se 10 coppie sposate sono sedute a caso intorno ad un tavolo rotondo, calcolare:

• (a) Il valore atteso del numero di mogli sedute vicino al proprio marito.
• (b) La varianza del numero di mogli sedute vicino al proprio marito.

Esercizio 8

Sia X una variabile aleatoria di Poisson con parametro λ. Calcolare E[1/(1+X)].

Esercizio 9

Se X è una variabile normale di parametri μ = 10 e σ = 36, calcolare:

• (A) P(X < 4)
• (B) P(X > 16)
• (C) P(4 < X < 16)

Esercizio 10

Si supponga che X sia una variabile aleatoria normale con media 5. Se P(X > 9) = 0.2, quanto vale approssimativamente Var(X)?

Esercizio 11

Il 65% della popolazione di una vasta comunità è a favore di una proposta di aumento delle tasse scolastiche. Approssimare la probabilità...