Esercitazione 6 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità e statistica

Foglio 6 Ingegneria Automatica e Informatica a.a. 2021/2022

Esercizio 1

Una compagnia di assicurazioni emette una polizza che pagherà una certa quantità di euro se si verificherà entro un anno un evento prefissato. Se la compagnia stima che si verificherà entro un anno con probabilità pari a p, quale dovrebbe essere il costo della polizza per il cliente in modo che il profitto atteso per la compagnia sia del 10 per cento di A?

Esercizio 2

Siano due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione geometrica di parametro p. Calcolare:

• P (min{X₁, X₂} ≤ a)
• P (max{X₁, X₂} ≤ a)

Esercizio 3

Il numero atteso di errori tipografici su una pagina di una certa rivista è 0.2. Qual è la probabilità che la prossima pagina che leggerai contenga:

• Zero errori tipografici
• Due o più errori tipografici

Esercizio 4

Si considerino prove indipendenti ciascuna delle quali dà come risultato con probabilità p_i, i=0, 1, ..., k, p_i > 0. Sia N il numero di prove necessarie per ottenere un risultato diverso da zero e sia quel risultato X.

• Calcolare P{N ≥ n}, n ≥ 1.
• Calcolare P{X = j}, j = 1, ..., k.
• Mostrare che X e N sono indipendenti, ovvero P{X = i, N = n} = P{X = i}P{N = n}

Esercizio 5

1000 cartoncini numerati da 1 a 1000 sono distribuiti a caso fra 1000 persone (una carta a persona). Calcolare il valore atteso del numero di cartoncini consegnati ad una persona la cui età coincide con il numero sul cartoncino.

Esercizio 6

Si supponga che A e B scelgano a caso e indipendentemente 3 oggetti da un insieme di 10. Trovare il valore atteso del numero di oggetti:

• Scelti sia da A sia da B
• Scelti né da A né da B
• Scelti esattamente da uno fra A e B

Esercizio 7

Sia X₁ il numero di e Y₂ il numero di che compaiono in n lanci di un dado bilanciato. Calcolare Cov(X, Y).

Esercizio 8

Si supponga che X e Y siano due variabili aleatorie identicamente distribuite (non necessariamente indipendenti). Mostrare che Cov(X − Y + Y, X) = 0.

Esercizio 9

Per una variabile intera non negativa N, mostrare che:

• ∑_i=0^∞ P(N > i) = ^(E[N])2 - E[N]
• ∑_i=0^∞ i P(N > i) = ∑_k=1^∞ ∑_i=0^k-1 i P(N = i)

Suggerimento: Scambiare l'ordine delle sommatorie.

Esercizio 10

Sia X una variabile aleatoria di Poisson con parametro: