Esercitazione 5 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità e statistica

Ingegneria automatica e informatica

a.a. 2021/2022

Esercizio 1

L'urna ha 5 palline bianche e 7 palline nere. L'urna B ha 3 palline bianche e 12 palline nere. Lanciamo una moneta non truccata. Se esce testa, si estrae una pallina dall'urna A, se esce croce dall'urna B. Si supponga di aver estratto una pallina bianca. Qual è la probabilità che sia uscita croce?

Esercizio 2

Su un bersaglio vengono tirati indipendentemente 3 colpi. Le probabilità che il colpo centri il bersaglio sono, rispettivamente, p₁, p₂, p₃. Calcolare la probabilità che:

• Un solo colpo centri il bersaglio;
• Almeno un colpo centri il bersaglio.

Esercizio 3

Si lanciano due dadi a 6 facce. Mostrare che l'evento che la somma è 7 è indipendente dal punteggio del primo dado.

Esercizio 4

Vengono lanciate n monete bilanciate. Sia l'evento A che tutte le monete diano lo stesso risultato e l'evento B che al più una delle monete dia testa. Determinare se A e B sono positivamente correlati, negativamente correlati o indipendenti da n.

• Per n = 2;
• Per n = 3;
• Per n ≥ 4.

Esercizio 5

Si lanciano due dadi non truccati. Qual è la probabilità che (almeno) uno dei due dadi sia 6, sapendo che i dadi danno due numeri diversi?

Esercizio 6

• Uno scommettitore ha in tasca una moneta equilibrata ed una moneta con due teste. Lancia una moneta scelta a caso e questa mostra testa. Qual è la probabilità che abbia lanciato la moneta equilibrata?

• Supponiamo che lanci la stessa moneta una seconda volta e che questa mostri di nuovo testa. Ora qual è la probabilità che si tratti della moneta equilibrata?

• Supponiamo che la moneta venga lanciata una terza volta e che mostri croce. Qual è la probabilità che si tratti della moneta equilibrata?

Esercizio 7

In una scatola ci sono 3 monete. Una ha due teste, una è equilibrata e l'altra mostra testa il 75% delle volte che viene lanciata. Viene lanciata una moneta scelta a caso fra le tre e questa mostra testa. Qual è la probabilità che si tratti della moneta con due teste?

Esercizio 8

Supponiamo di raccogliere continuamente delle figurine tra t tipi diversi. Supponiamo anche che ogni volta che si ha una figurina, questa sia di tipo i con probabilità p_i per i = 1, ..., m. Supponiamo di aver appena raccolto la figurina n-esima. Qual è la probabilità che si tratti di un nuovo tipo di figurina? (Suggerimento: condizionare sul tipo di q)