Esempio di prova in Itinere con soluzioni - analisi modulo 1

Esercitazione di analisi matematica

Determinare i valori di x

Data l'uguaglianza \(2\log(x + 1) = \log(x + 1) + \log(x + 1)\), determinare per quali valori di x è vera.

Assegnata la funzione

Funzione: \(f(x) = x^2 - 9\)

• (a) Determinare l'insieme di definizione di f;
• (b) Determinare l'insieme dei valori di f;
• (c) Verificare che f non è invertibile;
• (d) Verificare che la restrizione di f all'intervallo [3, +∞[ è invertibile; determinare l'inversa di tale restrizione, scrivendone esplicitamente insieme di definizione, insieme dei valori e legge di trasformazione.

Determinare l'insieme di definizione delle seguenti funzioni

• Funzione: \(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x - 1}\)
• Funzione: \(f(x) = \log(|x + 1| - 3)\)
• Funzione: \(f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \cdot \log x - \frac{3}{2} \cdot \log x\)

Scrivere in forma algebrica e trigonometrica delle radici quadrate del seguente numero complesso

Numero complesso: \(z = \frac{3 + 5i}{4 + i}\)

Soluzioni

1. Determinare i valori di x

La seguente uguaglianza è da verificare: \(2 \log(x + 1) = \log(x + 1) + \log(x + 1)\).

2. Assegnata la seguente funzione

La funzione data è \(f(x) = x^2 - 9\).

• (a) L'insieme di definizione di \(f\) è tutto \(\mathbb{R}\).
• (b) L'insieme dei valori di \(f\) è \([0, +∞)\).
• (c) La funzione \(f\) non è invertibile in quanto non è iniettiva.
• (d) La restrizione di \(f\) all'intervallo \([3, +∞[\) è invertibile. L'inversa è data da \(f^{-1}(y) = \sqrt{y + 9}\), con l'insieme di definizione \([0, +∞)\) e insieme dei valori \([3, +∞)\).

3. Determinare l'insieme di definizione delle seguenti funzioni

• \(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x - 1}\) è definita per \(x \geq 1\).
• \(f(x) = \log(|x + 1| - 3)\) è definita per \(|x + 1| > 3\).
• \(f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \cdot \log x - \frac{3}{2} \cdot \log x\) richiede \(x > 1\) e \(x \neq 0\).

4. Scrivere in forma algebrica e trigonometrica delle radici quadrate del seguente numero complesso

Calcolare le radici quadrate di \(z = \frac{3 + 5i}{4 + i}\).