Nucleo e immagine endomorfismo

Nucleo e immagine endomorfismo, matrice diagonale, base autovettori

Nucleo e immagine endomorfismo, matrice diagonale, base autovettori

Si consideri l'endomorfismo f: R³ → R³ così definito f(x, y, z) = (2x + y, -x + 2z, x + y + 2z)

1. Determinare nucleo e immagine di f e dire se f è un isomorfismo,
2. Stabilire se f è semplice ed in caso affermativo determinare la matrice diagonale D simile a Mℬ(f) ed una base di autovettori per f.

i) Nucleo e immagine di f

Sia A la matrice associata ad f rispetto la base canonica

Utilizzando l'eliminazione di Gauss, la matrice A può essere ridotta nella seguente forma a scala

Si ricava così che rgA' = rgA = 2 = dim Im f e quindi dim ker f = 1 da cui f non è un isomorfismo. Inoltre Im f = L((2, -1, 1), (1, 0, 1)). Determiniamo ora il nucleo di f:

X ∈ ker f ⇔ AX = 0 ⇔

2x + y = 0

y + 4z = 0

⇔

x = 2z,

y = -4z

⇔ ker f = L((2, -4, 1))

ii) Matrice diagonale e base di autovettori

Per stabilire se f è semplice consideriamo il polinomio caratteristico p_A(λ)

p_A(λ) = det(A - λI) =

= (λ - 1)λ(3 - λ)

Ora p_A(λ) = (λ - 1)λ(3 - λ) = 0 se e solo se λ ∈ {1, 0, 3}. Poiché si tratta di autovalori distinti, la matrice A è diagonalizzabile, ossia è simile alla matrice diagonale D data da