Elettromagnetismo - Esercizi

Revisionato il 26/07/2026

di giuseppe-coppola-19

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Esercizi di Elettromagnetismo elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni dell'università degli Studi della Calabria - Unical, facoltà di …

Esame Elettromagnetismo

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2021-2022

96 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Un vettore è caratterizzato da due parametri: dal suo modulo e dal suo verso

A = |A| · cA

In un sistema cartesiano, un vettore è caratterizzato da 3 componenti:

A = Âx îx + Ây ĵy + Âz ẑz

|A| = √Âx² + Ây² + Âz²

cA = A / |A|

Esercizio 1

Dato il vettore:

A = 4 îx - 3 ĵx

Richiesta cA

|A| = √4² + 3² = √25 = 5

Vettore, modulo e versore

Un vettore è caratterizzato da due parametri: dal suo modulo e dal suo versore.

A = |A| · c_A

In un sistema cartesiano, un vettore è caratterizzato da 3 componenti:

A = x A_x + y A_y + z A_z

|A| = √(A_x² + A_y² + A_z²)

c_A = A / |A|

Esercizio 1

Dato il vettore:

A = 4x - 3z trovare c_A

|A| = √(4² + 3²) = √25 = 5

Esercizio 2

Dato B = -i + j 2 - k

Calcolare versore e modulo

u_B = B/|B|

|B| = √(1)² + (2)² + (-1)² = √6

u_B = (-i + j 2 - k)/√6

Uguaglianza, somma e differenza di vettori

Due vettori sono uguali se hanno uguale modulo e hanno versore coincidente.

A = c a |A| B = c B |B|

A = B ⇐ |A| = |B| e u_A = u_B

Dati i vettori A = Î_Ax + J_Ay + Z_Az e B = Î_Bx + J_By + Z_Bz, il vettore somma C è dato:

C = Î_{(Ax + Bx)} + J_{(Ay + By)} + Z_{(Az + Bz)}

Il vettore differenza D sarà dato:

D = Î_{(Ax - Bx)} + J_{(Ay - By)} + Z_{(Az - Bz)}

Calcolo con i vettori A e B

Dati i vettori A=i4+k2 e B=i-k4, calcolare:

Calcolare |A| e versore A
Calcolare |B| e versore B
Calcolare C=A+B |C| e versore C
Calcolare D=A-B |D| e versore D

1) |A|=√16+4 = √20 = 2√5 ∧_A=i4+k2 / 2√5

2) |B|=√1+16=√17

3) C=A+B → i(4+1)+k(2-4) C = i5-k2 |C|=√25+4=√29 ∧_C=i5-k2/√29

4) D=A-B → i(4-1)+k(2+4) D = i3+k6 |D|=√9+36=√45=3√5 ∧_D=i3+k6 / 3√5

Esercizi sui vettori posizione

Scrivere l'espressione del vettore A diretto dall'origine verso il punto P₁(2,3,3). Inoltre calcolare il suo modulo e il suo versore.

Qualsiasi parte dell'origine verso un punto, è chiamato vettore posizione.

A= 2i + 3j + 3z

|A| = √4 + 9 + 9 = √22

ûA = (2i + 3j + 3z)/√22

Calcolare B diretto da P₁(2,3,3) verso P₂(1,-2,2) e calcolare il suo modulo e il suo versore.

B = x̂ (x₂-x₁) + ŷ (y₂-y₁) + ẑ (z₂-z₁)

= x̂ (1-2) + ŷ (-2-3) + ẑ (2-3)

= -x̂ - 5ŷ - ẑ

|B| = √1 + 25 + 1 = √27 = 3√3

cB = (x̂ - 5ŷ - ẑ)/(3√3)

Integrali di funzioni a più variabili

∬_S f(x,y) ds

∬∬_V g(x,y,z) dV

_S regione di R²

d = Gli integrali servono a calcolare la massa totale del corpo.

Oppure l'area totale di un corpo.

Esercizio sugli integrali doppi

Sia \(f(x, y) = x + y\), integrare su \(S = \{ 0 \leq x \leq 4 ; \ 0 \leq y \leq 4 \}\)

dS = dx dy

\(\int_{y=0}^{y=4}\int_{x=0}^{x=4} (x+y) \, dx \, dy =\)

\(=\int_0^4 \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_0^4 \, dy =\)

\(=\int_0^4 (8 + 4y) \, dy = \left[ 8y + 2y^2 \right]_0^4 = 32 + 32 = 64\)

Volume racchiuso tra S e la funzione.

Esempio sugli integrali tripli

f(x,y,z) = x + y + z

Calcola l'integrale su V: {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 3}

∫∫∫_V (x+y+z) dV

dV = dx dy dz

∫₀³ ∫₀² ∫₀¹ (x+y+z) dx dy dz

= ∫₀³ ∫₀² [x²/2 + yx + zx]¹₀ dy dz = ∫₀³ ∫₀² (1/2 + y + z) dy dz

= ∫₀³ [y/2 + y²/2 + zy]²₀ dz == ∫₀³ (1 + z + 2z) dz = ∫₀³ 3 + 2z dz

= [3z + z²]³

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