Elementi di automazione - Esercizi

Appunti - Elementi di automazione

Sistemi del secondo ordine

Evoluzione libera

y'' + a₁ y' + a₂ y = 0

con y(0) = y₀ e y'(0) = y'0

Le funzioni caratteristiche generali sono:

λ² + a₁ λ + a₂ = 0

λ = λ₁ λ₂

Radici reali e distinte

1) se λ₁, λ₂ sono reali e distinte

y_f(t) = K₁ e^{λ₁ T} + K₂ e^{λ₂ T}

allora, imponendo y_f(0) = y₀ e y'_f(0) = y'0, ho:

y_f(t) = (y'0 - λ₂ y₀) / (λ₁ - λ₂) e^{λ₁ T} + (y'0 - λ₁ y₀) / (λ₁ - λ₂) e^{λ₂ T}

Radici reali coincidenti

2) se λ₁ = λ₂ = λ reali coincidenti

y_f(t) = K₁ e^{λ T} + K₂ T e^{λ T}

con y_f(0) = y₀ e y'_f(0) = y'0

ponendo y'_f(t) = K₁ λ e^{λ T} + K₂ e^{λ T} + K₂ T λ e^{λ T}

si ottiene K₁ = y₀ K₂ = y'0 - λ y₀

per cui:

y_f(t) = y₀ e^{λ T} + (y'0 - λ y₀) T e^{λ T}

Radici complesse coniugate

3) se λ_1,2 = α ± jω complessi coniugati

y_f(t) = K₁ e^{α t} cos(ωT) + K₂ e^{α t} sen(ωT)

con y_f(0) = y₀ e y'_f(0) = y'0

si ottiene: y_f(t) = y₀ e^{α t} cos(ωT) + (y'0 - α y₀) / ω e^{α t} sen(ωT)

inoltre: y_f(t) = A e^{α T} sen(ωT + β)

con A = ((y₀)² + ((y'0 - α y₀) / ω)²)^1/2

e β = arc tg (((y'0 - α y₀) / ω) / y₀)

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