dimostrazione teoremi esame

Teoremi richiesti con dim. per la 1^a prova in itinere

Irazionalità di √2

Definito ℚ come insieme dei numeri razionali (insieme delle rappresentazioni decimali finite e infinite periodiche), ossia: ℚ := {p/q ∈ ℝ - p,q ∈ ℕ, q ≠ 0} la sua rappresentazione geometrica è:

• La diagonale x del quadrato di lato 1 è uguale a √2 (riporto la diagonale)
• Dimostro che x non è un numero razionale (ovvero che è irrazionale)

Per Pitagora: x = p√(1 + 1) = √2 ⇒ dimostro l’irrazionalità di √2 per assurdo:

• x ∈ ℚ ⟺ x = p/q con p, q ∈ ℕ (q ≠ 0) per definizione
• x = √2 ⟺ p²/q² = 2 ⟺ p² = 2q² ⇒ p² è pari (qualsiasi numero moltiplicato per un numero pari in questo caso 2, dà come risultato un numero pari). ⇐ Se p² è pari allora p è pari, il che equivale a scrivere che p = 2t, t ∈ ℕ
• Se p = 2t allora l’espressione: (p²/q² = 2) diventa: (2t)²/q² = 2 ⟺ (t² = 2q² ⟺ q² = 2t² ⟺ q² è pari ⇒ q è pari
• Si ottiene che p e q sono pari ⇒ il loro M.C.D. è sicuramente maggiore o uguale a 2 (M.C.D. {p,q} ≥ 2), mentre in generale, per p/q = x e per ipotesi posso supporre M.C.D. (p,q) = 1 ⇒ Assurdo

Si è dimostrato per assurdo l’irrazionalità di √2.

Teoremi richiesti con dim. per la 1^a prova in itinere

Irazionalità di √2

Definito Q come insieme dei numeri razionali (insieme delle rappresentazioni decimali finite e infinite periodiche), ossia: Q := { p/q ∈ ℕ, p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 } la sua rappresentazione geometrica è:

• La diagonale x del quadrato di lato 1 è uguale a √2 (rispetto la diagonale)
• Dimostro che p non è un numero razionale (ovvero che è irrazionale)
• Per Pitagora, x = √(1+1) = √2 → dimostro l'irrazionalità di √2 per assurdo:
• x ∈ ℕ ↔ x = p/q con p,q ∈ ℤ (q ≠ 0) per definizione
• x = √2 ↔ p²/q² = 2 ↔ p² = 2q² ↔ p² è pari (qualsiasi numero moltiplicato per un numero pari, in questo caso 2, dà come risultato un numero pari) ↔ Se p² è pari allora p è pari, il che equivale a scrivere che p = 2t, t ∈ ℤ
• Se p = 2t allora l'espressione (p²/q²) diventa: (2t/q)² = 2 ↔↔ (2t)² = 2q² ↔ 2²t² = 2q² ↔ q² è pari ↔ q è pari
• Si ottiene che p e q sono pari → il loro M.C.D. è sicuramente maggiore o uguale a 2 (M.C.D. (p,q) ≥ 2), mentre, in generale, per p/q = x - e per ip. potevo supporre M.C.D. (p,q) = 1 → Assurdo
• Si è dimostrato per assurdo l'irrazionalità di √2.

Formula di De Moivre

Presi due numeri complessi z₁, z₂ ∈ ℂ, si ha che:

z₁ = r₁(cosθ₁ + i senθ₁), z₂ = r₂(cosθ₂ + i senθ₂)

Si dimostra che:

1) Il loro prodotto

z₁ • z₂ = r₁r₂[cosθ₁cosθ₂ - senθ₁senθ₂ + i(senθ₁cosθ₂ + cosθ₁senθ₂)]

Per la formula di Prostaferesi l'equazione precedente diventa:

z₁•z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]

2) Il loro quoziente

z₁/z₂ = r₁/r₂ [cosθ₁ + i senθ₁]/[cosθ₂ + i senθ₂] con z₂ ≠ 0

Moltiplicando numeratore e denominatore per cosθ₂ - i senθ₂ (razionalizzazione) e tenendo conto che (cosθ₂)² + (senθ₂)² = 1 abbiamo:

z₁/z₂ = r₁/r₂ [cosθ₁ + i senθ₁](cosθ₂ - i senθ₂)/₂[(cosθ₁ + i senθ₁)(cosθ₂)]

Se poi i fattori sono tutti uguali, otteniamo la formula (detta di De Moivre):

zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sen(nθ))

3) Radici n-esime di un numero complesso

• Sia z ∈ ℂ: z = ρ(cos(ϑ) + i sen(ϑ)) e n ∈ N, n > 1
• Se z ∉ 0, allora ∃ n radici n-esime di z, cioè ∃ n numeri complessi: ω_k: ω_kⁿ = z k = 0, 1, 2, ..., n-1.
• Inoltre: ω_k = ⁿ√ρ (cos(^{ϑ + 2kπ}/_n) + i sen(^{ϑ + 2kπ}/