Dimostrazione disuguaglianze principio d induzione

Esercizio dimostrazione disuguaglianza con il principio di induzione

Esercizio dimostrazione disuguaglianza con il principio di induzione.

Si dimostri che per ogni n ∈ ℕ vale l'uguaglianza ∑_K=1ⁿ 1/(K(K+1)) = n/(n+1).

Suggerimento

∑_K=1ⁿ 1/(K(K+1)) = 1/1 - 1/(n+1) (1).

È evidente che p(1) è vero, infatti sostituendo 1 al posto di n nella (1) otteniamo 1/(1⋅(1+1)) = 1/1 - 1/2 (vero).

Che è un'uguaglianza vera.

Occorre dimostrare che, supposta vera la (1), è vera anche la formula che si ottiene dalla (1) sostituendo n=1 al posto di n, ossia — ∑_K=1ⁿ⁺¹ (2) 1/(K(K+1)) = (n+1)/(n+2).

Supponiamo vera la (1).

Sommando a entrambi i membri di essa 1/(n+1)(n+2) si ottiene 1/(K(K+1)) + 1/((n+1)(n+2)) = n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)).

1/(K(K+1)) + 1/((n+1)(n+2)) = (n(n+2) + 1)/((n+1)(n+2)).

1/(K(K+1)) + 1/((n+1)(n+2)) = (n²+2n+1)/((n+1)(n+2)).

1/(K(K+1)) = ((n+1)²)/((n+1)(n+2)).

1/(K(K+1)) = (n+1)/(n+2).

1/(K(K+1)) = (n+1)/(n+2).

Abbiamo così ottenuto proprio la (2).

Abbiamo dimostrato che vale per ogni n ∈ ℕ.

Esercizio dimostrazione disuguaglianza con il principio di induzione.