Definizione di limite finito

Definizione di limite finito

Definizione di limite finito

Applicando la definizione di limite, verifichiamo lim_x→2 (x² + 1) = 5.

Scelto un ε > 0, risolviamo la disequazione |(x² + 1) − 5| < ε e verifichiamo che l’insieme delle sue soluzioni contiene un intorno di 2.

|(x² + 1) − 5| < ε ⇔ {x² − 4 < ε ⇔ {x² − 4 − ε < 0x² − 4 > −εx² − 4 + ε > 0

Prima disequazione

Risolviamo l’equazione associata:

x² − 4 − ε = 0 ⇔ x² = 4 + ε ⇔ x = ±√4 + ε.

La prima disequazione ha per soluzioni −√4 + ε < x < √4 + ε.

Seconda disequazione

Risolviamo l’equazione associata:

x² − 4 + ε = 0 ⇔ x² = 4 − ε.

Poiché ε è un numero reale positivo arbitrariamente piccolo, possiamo supporre ε < 4, ossia 4 − ε > 0, quindi:

x = ±√4 − ε.

La seconda disequazione ha per soluzioni x < −√4 − ε ∨ x > √4 − ε.

Compiliamo il quadro delle soluzioni.

Le soluzioni del sistema sono perciò \( -\sqrt{4+\varepsilon} \(\sqrt{4-\varepsilon}

Poiché l’intervallo \( ]\sqrt{4-\varepsilon}; \sqrt{4+\varepsilon}[ \) è un intorno di 2, il limite è verificato.

Applicando la definizione di limite verifichiamo che non vale lim_x→4 (2x+1) = 7.

Scelto un ε > 0, risolviamo la disequazione |(2x+1)−7|<ε.

La disequazione data è equivalente al sistema:{    |2x−6|<ε                 |2x<6+ε    |2x−6|>−ε         |2x>6−ε    →                                   x< 3+ε/2       |x> 3−ε/2                                   x> 3−ε/2      |x> 3−ε/2}

L'intervallo |3−ε/2;3+ε/2| | può non rappresentare un intorno completo di 4 per qualsiasi valore di ε.

Per esempio se ε = 1/2, l'intervallo |3−1/4;3+1/4|  | non è un intorno di 4. Quindi l'uguaglianza lim_x→4 (2x+1) = 7 è falsa.

L'intervallo |3−ε/2;3+ε/2| | è invece sempre un intorno completo di 3 di raggio ε/2, pertanto il limite corretto è lim_x→3 (2x+1) = 7.