Definizione di limite

Definizioni di limite

Limite per x → +∞

Lim_x→+∞ f(x) = +∞ ∀E ∃N ∀x∈(domf) ∩ (N,+∞) ⇒ f(x) > E ∀E ∃I∈(+∞) ∀x∈(domf) ∩ I_ε(+∞) ⇒ f(x) > E ∀I(+∞) ∃I(+∞) ∀x∈V_I(+∞)∩(domf) ⇒ f(x)∈I(+∞)

Bisogna dimostrare che f(x) > E trovando E∈domf per cui x > N_e, ∀E.

Limite finito per x → +∞

Lim_x→+∞ f(x) = ℓ ∀E>0 ∃N∈ℕ ∀x∈(domf) ∩ {x | x > N} ⇒ |f(x) - ℓ| ∀E>0 ∃I_ε(+∞) ∀x∈(domf) ∩ I_ε(+∞) ⇒ |f(x) - ℓ| ∀I(ε) ∃V_I(+∞) ∀x∈(domf) ∩ V_I(+∞) ⇒ f(x) ∈ I(ε)

Bisogna dimostrare che |f(x) - ℓ| N.

Limite per x → x₀

Lim_x→x₀ f(x) = +∞ ∀E ∃δ>0 | ∀x ≠ x₀, x∈(domf), x - x₀ E ∀I(+∞) ∃V(x₀) | ∀x∈(dom_f - {x₀}) ∩ V(x₀) ⇒ f(x)∈I(+∞) ∀E ∃δ>0 | ∀x∈domf, 0 E

Bisogna dimostrare che f(x) > E ∀E sia soddisfatta inf I(x₀) esclusa x₀ p.to di accumulazione può anche ∈ domf.

Se x₀ non è p.to di acc. - o è p.to isolato.

Definizioni di limite

Limite per x → +∞ uguale a +∞

_{x → +∞} f(x) = +∞ ∀ E ∃ N ∀ x ∊ (dom f) ∩ (N, +∞) ⇒ f(x) > E ∃ E ∀ ∊ I_f(+∞) ∀ x ∊ (dom f) ∩ I_ε(+∞) ⇒ f(x) > E ∀ I(+∞) ∃ x ∊ V_I(+∞) ∩ (dom f) ⇒ f(x) ∊ I(+∞)

Bisogna dimostrare che f(x) > E trovando E ∊ dom f per cui x > Nε, ∀ E.

Limite per x → +∞ uguale a ℓ

_{x → +∞} f(x) = ℓ ∀ ε > 0 ∃ Nε | x ∊ (dom f) ∩ {x | x > Nε} ⇒ |f(x) - ℓ| ∀ ε > 0 ∃ I_ε(+∞) ∀ x ∊ (dom f) ∩ I_ε(+∞) ⇒ |f(x) - ℓ| ∀ I(ℓ) ∃ V_I(+∞) ∀ x ∊ (dom f) ∩ V_I(+∞) ⇒ f(x) ∊ I(ℓ)

Bisogna dimostrare che |f(x) - ℓ| N.

Limite per x → x₀ uguale a +∞

_{x → x0} f(x) = +∞ ∀ ε ∃ δ > 0 | x ≠ x₀, x ∊ (dom f), x - x₀ ε ∀ I(+∞) ∃ V_I(x₀) ∀ x ∊ ((dom f - {x₀}) ∩ V_I(x₀)) ⇒ f(x) ∊ I(+∞) ∀ ε ∃ δ > 0 ∀ x ∊ dom f, 0 0| ε

Bisogna dimostrare che f(x) ≤ E ∀ ε sia soddisfatta in I(_f(x₀)) escluso x₀.

Limite finito per x → x₀

4 lim_x→x0 f(x) = ℓ x ≠ x₀ x₀ ∈ ℝ ℓ ∈ ℝ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x-x₀| bisogna dimostrare che |f(x) - ℓ| 0|

Definizione generale

Definizione generale lim_x→α f(x) = β ∀ I_β ∃ V_α | ∀ x ∈ dom f - {x₀} ∩ V_α ⇒ f(x) ∈ I_β

Limite di una funzione f: X → Y X ⊆ ℝ, Y ⊆ ℝ x₀ ∈ ℝ, ℓ ∈ ℝ x₀ pt. di acc. per X lim (x → x₀) f(x) = ℓ def (⇔) ∀ I(ℓ) ∃ I(x₀) : ∀ x ∈ X∩I(x₀)\{x₀} ⇒ f(x) ∈ I(ℓ)

(ε) f(x) - ε I(ε) ε ⊂ f(x) ε +∞ : ........ f(x) > M -∞ : ........ f(x) x > ∞ -∞₀:(x)(ε) (e)(N_ε)

Verifica di un limite

1. Limite di un polinomio

1. lim_x→+∞ (x²-2x-10) = +∞ ∀A ∃B ∈ ℕ t.c. x²-2x-10 > A

(x²-2x-10) = (x-1)²-11 > A

(x-1)² > A+11

(x-1) > √A+11

x > 1+√A+11 = B

2. Funzione x + sin(10x)

2. f(x) = x + sin(10x) lim_x→+∞ (x + sin(10x)) = +∞

-1 ≤ sin(10x) ≤ 1

x-1 ≤ sin(10x) + x ≤ x+1

Il grafico della funzione è compreso tra y = x-1 e y = x+1.

∀ε>0 ∃N∈ℕ t.c. x+sin(10x) ≥ ε

x+sin(10x) ≥ x-1 ≥ ε = D

x-1 ≥ ε = D x > ε+1 = N

• Sin(10x) = 0 10x = 0 + kπ k∈ℤ
• Sin(10x) = 1 10x = π/2 + k2π k∈ℤ
• Sin(10x) = -1 10x = 3π/2 + k2π k∈ℤ

3. Funzione x + sin x/x

3) lim_x→+∞ (x + ^{sin x}/_x) = +∞

-1 ≤ sin x ≤ 1

-¹/_x ≤ ^{sin x}/_x ≤ ¹/_x

x - ¹/_x ≤ x + ^{sin x}/_x ≤ x + ¹/_x

Devo mostrare che per opportune x, x + ^{sin x}/_x > ε.

x + ^{sin x}/_x > x - 1 > ε

x > N > 10 1/_N 1/_x x - ¹/_x > x - ¹/_N > N - ¹/_N = ε

y = x x + ¹/_x y - ¹/_x

Limiti laterali e funzioni pari o dispari

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀^-) = f(x₀⁺)

Funzione pari lim_x→x0⁺ f(x) = α   f(x) = f(-x)

Funzione dispari lim_x→x0⁺ f(x) = -α   f(-x) = -f(x)

f(x) è un infinitesimo per x→x₀ (⇔) |f(x)| ε^eᶦ

Regola di calcolo

(+∞) + (+∞) = +∞   (-∞) - ∞ = -∞

^±∞/₀ = ±∞ ⁰/_±∞ = 0   0^±∞ = 0

⁰/₀ =   1^±∞

e (+∞) = {   +∞   ε > 0

ε (-∞) =   {   -∞   ε

(-∞) x (+∞) = (-∞)

⁰/₀ =   ^±∞/_±∞

(+∞)⁰ = 1

Forme indeterminate

Forma indeterminate (±∞)⁰ = 1

⁰/₀ = ±∞

(+∞)⁰ = 0   +∞ + 0

^±∞/_±∞   -∞ + ±∞

⁰/_±∞ = -∞

^±∞(+∞) + 0 = +∞

(+∞)⁰ = 0

(+∞)⁰ = 0

(+∞)_(f(x)^g(x))

Asintoti

Asintoto verticale lim_x→x₀ f(x) = ∞   x = x₀

Asintoto orizzontale lim_x→∞ f(x) = ℓ   y = ℓ

Asintoto obliquo lim_x→∞ f(x) = ∞   y = ux + nu = lim_x→∞ (f(x)/x) ≠ 0

n = lim_x→∞ (f(x) - ux) ≠ ±∞

Se c'è asintoto obliquo, non c'è asintoto orizzontale.

Limiti notevoli

lim_x→∞ ^log_ax/_x^b = 0

lim_x→0 x^d log_ax = 0

lim_x→∞ ^ex/_x^d = 0 ∀d

lim_x→∞ |x|^d e^x = 0

lim_x→∞ (1+(x)^1/x)^x = α

lim_x→∞ ^nα/_x = 1 α≥0

lim_x→∞ ^√n/n = 1

lim_x→0 ^{1-cos x}/x = 0

lim_x→0 ^{1-cos x}/x² = 1/2

lim_x→∞ ^{sin x}/x = 1

lim_x→∞ ^ex-1/x = 1

lim_x→∞ ^ax-1/x = log_ae

lim_x→∞ ^log(1+x)/x = 1

lim_x→∞ ^log_a(1+x)/x = 1

lim_x→∞ (1+1/n)ⁿ = e

lim_x→∞ (1+x/n)ⁿ = e^x

lim_x→∞ x^α = { +∞ α>1 1 α=1 0 0

Continuità

0: ∀x∈dom f, |x-x₀| |f(x)-f(x₀)| 0 (esponenziale))

f(x) = log_rx r>0, r≠1

Funzioni trigonometriche.

Funzioni inverse di funzioni aumentate def su intervalli f(x) = arcsin x arccos x arc tan x.

Discontinuità

• Discontinuità eliminabile
• Discontinuità prima specie

∃ lim_x→x0 f(x)= l ≠ f(x₀)

g(x)={f^lim_x→x0 x ≠ x₀}

∃lim_x→x0 f(x)= l^l, l_1⁺ => l_2^-

Discontinuità di seconda specie

∄ lim_x→x0 f(x)

lim_x→x0^- f(x) ∨ lim_x→x0⁺ f(x) = ∞

f(x) non definita in x₀

ℓ = lim_x→x0 f(x) → g(x) = {f(x) se x ≠ x₀, e se x = x₀, g è continua}

Funzioni composte

Sia data f(y) = h(g(x)) e valga:

lim_x→x0 g(x) = ℓ

lim_y→ℓ f(y) = u

1. F(y) continua e definita in ℓ
2. G(x) non prenda valore ℓ
3. F(y) non sia definita in ℓ

⇒ lim_x→x0 f(g(x)) = u

Limiti per sostituzione

y = g(x)

Sostituzione a variabile y una funzione invertibile tale che la sua inversa g^-1(y) verifichi le ipotesi sopra.

lim_x→d g(x) = ℓ lim_x→d f(g(x)) = u x → d u = lim_y→ℓ f(g(g^-1(y))) = lim_y→ℓ f(y)

Confronto di funzioni

lim_x→d (f(x)/g(x)) = 0 f = o(g) (f o piccolo di g)

Quando f e g sono infiniti o infinitesimi contemporanei.

Infiniti

f(x) → ∞

g(x) → ∞

lim_x→d f(x)/g(x) = 0   g(x) ordine superiore   f(x) ordine inferiore   f(x) = o(g(x))

lim_x→d f(x)/g(x) = ∞   f(x) ordine superiore   g(x) ordine inferiore

lim_x→d f(x)/g(x) = c   (f(x) e g(x)) stesso ordine

u(|g(x)|)   sono confrontabili

lim_x→d f(x)/g(x) = 1   equivalenti   f ≈ g   f(x) = g(x) + o(g)   f(x) ∩ c[g(x)]^γ

1. F(x) è infinito o infinitesimo di ordine k rsp g(x)
2. C[g(x)]^γ è parte principale

Simboli di Landau

Simboli di Landau _n^o, _n^∞, _o^o

f O grande di g per x → ∞

Se ∃M ∈ I(d) : x∈I ⇒ |f(x)| f = O(g)

Infiniti

{log_n} < {bⁿ} < {aⁿ}, {n!}, {nⁿ}

log x < x^b < x^a < x^x < x^!! < x^!!

Formula di Maclaurin

Formula di Maclaurin T_n(x; 0) = ^{f(n)(x₀) (x - x₀)k}/_k!k₀ = 0 di ordine n

∀x:e^x = 1 + x + ^x2/₂ + ^x3/₆ + ^x4/₂₄ + … + ^xn/_n! + o(xⁿ)

|x| < 1:log(1 - x) = x + ^x2/₂ + ^x3/₃ + ^x4/₄ + ^x5/₅ = - ^(-1)n+1/_nxⁿ + o(xⁿ)

|x| < 1:(1 + x)^d = 1 + dx + ^{d(d - 1)}/₂ x² + ^{d(d - 1)(d - 2)}/₆ x³ + …(^d/_n)xⁿ + dⁿ

sin x = x - ^x3/₆ + ^x5/₁₂₀ - ^x7/₅₀₄₀ + … - ^{(-1)n x2n+1}/_(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺²)

cos x = 1 + ^x2/₂ - ^x4/₂₄ + ^x6/₇₂₀ + … + ^{(-1)n x2n}/_(2n)! → o(x²ⁿ⁺²)

|x| < ^π/₂:tan x = x + ^x3/₃ + ²/₁₅ x⁵ → o(x⁶)

sinh x = x + ^x3/₆ + ^x5/₁₂₀ + ^x7/₅₀₄₀ + ^x9/₃₆₂₈₈₀ + … → o(x⁹)

cosh x = 1 + ^x2/₂ + ^x4/₂₄ + ^x6/₇₂₀ + ^x8/₃₆₂₈₈₀ + o(x⁹)

a^x = 1 + x log a + o(x)

Coefficiente binomiale

Coefficiente binomiale ⁿC_k = n! / (k! (n-k)!)

Formula del binomio o di Newton

Formula del binomio o di Newton (1 + x)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ( ⁿC_k x^k + o(xⁿ) )

= ∑_k=0ⁿ⁺¹ ( ⁿC_k x^k + o(xⁿ⁺¹))

ⁿ⁺¹C_k = 0 ⇒ x^k e x⁰

(1 + x)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ( ⁿC_k )

• O(g) + o(g) = o(g)
• C . o(g) = o(g) ∀ c ∈ ℝ \ {0}
• G₁ . o(g₂) = o(g₁.g₂)
• O(g₁)^d = o(|g₁|^d) d ∈ ℝ⁺
• O(g₁) . o(g₂) = o(g₁.g₂)
• O(g + o(g)) = o(g)
• O(o(g)) = o(g)

Pertinenza del segno

Se f(x) continua in x₀ e f(x) = xⁿ + o(xⁿ) per x → x₀ f(x₀) = 0

Se n pari → ∃ I(x₀) su cui f(x) > 0 per x ≠ x₀

Se n dispari → f(x) passa da negativa a positiva quando x attraversa x₀

f(x) = xⁿ ( 1 + o(xⁿ) / xⁿ ) = xⁿ (1 + o(1)) Pertinenza del segno

Limiti notevoli e metodi

Limiti notevoli (trascendenti)

Confronto infinitesimi

Sovrapposizione polinomi (l’equime basso)

De l’Hôpital

Mac∞ : limiti notevoli

∞ : confronto infinit

Sovrapposizione (grado max)

0/0 = ∞/∞ = ∞/0 = 0/∞ = 0⁰

∞⁰ = 0^∞ = 1^∞ = ∞

1. I limiti notevoli

y = ln(1)

Parametrizzazione

Sovrapposizione

Confronto infiniti

∞/∞ infiniti (infinitesimi)

Successione

Successione {a_n}_n∈N = {a₀, a₁, a₂, ..., a_n} (a_n)

limn→+∞ a_n

Carattere regolare limn→+∞ l∈ℝ

Non regolare limn→+∞

Convergente limn→+∞ a_n = ℓ

Divergente limn→+∞ a_n = ±∞

Convergente ⇒ limitata (sup e inf)

(∀ε>0 ∃n₀ t.c. N≤a_n≤ℝ)

Diverge positivamente ⇒ limitata inferiormente

Diverge negativamente ⇒ limitata superiormente

Crescente limn→+∞ a_n = sup a_n n∈N a_n ≤ a_n+1

Decrescente limn→+∞ a_n = inf a_n n∈N a_n ≥ a_n+1

limn→+∞ a_n = limn→+∞ sup a_n = limn→+∞ inf a_n

Successione di Cauchy

Successione di Cauchy (a0 ∃n∈N [ ∀n≥n₀, ∀m>n₀ |a_n-a_m|

Rappresentazione grafica

Rappresentazione grafica a_n = f(n) = insieme di infiniti punti isolati di coordinate (n, a_n)

Successione limitata ammette sottoccessione convergente.

{a_n}_n=0^∞ {a_k(n)}_n=0^∞

|a_n| ≤ H ⇒ [ limn→+∞ a_k(n) | ≤ H ]