Verifica del limite applicando la definizione. Caso limite finito

Analisi matematica

Verifica del limite applicando la definizione

Esercizi svolti

lim_x→x0 f(x) = l ∀ε > 0 ∃I(x₀) |f(x) – l| < ε, ∀x ∈ I(x₀), x ≠ x₀.

• 107 lim_x→1 (2 - 3x) = -1
• 108 lim_x→1/2 (4x - 1) = 1
• 109 lim_x→2 (4 - x²) = 0
• 110 lim_x→-1 (x²-2x+2) = 1
• 111 lim_x→0 (x³ - 1) = -1
• 112 lim_x→0 (^x2/_x²-2) = -2
• 113 lim_x→-2 ¹/_x+2 = ¹/₃
• 114 lim_x→2 ^x+4/₂ = -1
• 129 lim_x→3 2(log₃ √x – 5) = -8
• 130 lim_x→2 ¹/_log2x = 1

Analisi matematica

Verifica del limite applicando la definizione

Esercizi svolti

lim_x→x0 f(x) = l ∀ε > 0 ∃I(x₀) |f(x) - l| < ε, ∀x ∈ I(x₀), x ≠ x₀.

• 107 lim_x→1 (2 - 3x) = -1
• 108 lim_x→1/2 (4x - 1) = 1
• 109 lim_x→4 (4 - x²) = 0
• 110 lim_x→1 (x² - 2x + 2) = 1
• 111 lim_x→0 (x³ - 1) = -1
• 112 lim_x→0 (x²/(x² - 2) = -2
• 113 lim_x→2 1/(x+2) = 1/3
• 114 lim_x→2 x + 4/x - 2 = 1
• 129 lim_x→2 2(log₃√x - 5) = -8
• 130 lim_x→2 x²/log₃x = 1

N^o 107

Verifica di limite finito

lim_x→x0 f(x) = l   con l ∈ R

Definizione

lim_x→x0 f(x) = l ↔ ∀ε > 0 ∃I(x₀): |f(x) - l| < ε ∀x∈I{x₀}, x ≠ x₀

Per ogni ε positivo, troviamo sempre un intorno di x₀, tale che per ogni x in intorno diverso (al più di x₀, f(x) appartiene all'intorno l di raggio ε.

N.B. ε è piccolo e piccolo è positivo!!

lim_{x → 1} (2 - 3x) = 1

Verifica

|f(x) - l| < ε

|2 - 3x - (1)| < ε

|2 - 3x + 1| < ε

|3 - 3x| < ε

|3x - 3| < ε

|3x - ε| > 1

x x < 1 + ε/3

∆ = R

|f(1)| = |1| = (1 - ε/3 | 1 + ε/3)

N° 108

lim_{x -> 1/2} (hx-1)-1

D=R

|-f(x₁-ε)|<ε

|hx-1-1|<ε

|4x-2|<ε

hx-2<ε

hx-2>-ε

hx<2+ε

4x>2-ε

x<¹/₂+^ε/₄

x>¹/₂-^ε/₄

L(1)=[¹/₂-^ε/₄;¹/₂+^ε/₄]

N° 109

lim_x→-2 (x-x₁) = 0

|f(x)-x₁| < ε

|x-x₁| < ε

{ x - ₂ < ε

- ₂ - x > - ε

{ 1) - x _{2 1} x ₂ > - ε

2) x > 2 + ε

1) x < -√_x-ε &vee; x > √_x-ε

2) √_4+ε < x < √_4+ε

N. 13.

ε > 0

√_4-ε < √₂ | - √_{1 5} - √_{1 5} > 2-√_1+ε > √₅-√_1+ε | x < √_51+ε > √₂

| -√_1+ε ≤ xx√_1+ε > √₂↓-√_1+ε < √₅-√_1+ε > 2-√_1+ε | x > √₁₅ - √₁₅ > 2-√_1+ε , -2, -√_1ε-√_ε 2 √_4+ε{-√_E(x) = [-2, -√_1+ε] - √_ε [-√_1+ε]

M° **Io

lim (x² -2x+2) -1

x -> 1

|f(x) - l| < ε

|x²-2x+2-1| < ε

|x²-2x+1| < ε

|x²-2x+1| > ε

x²-2x+1-ε < 0

x²-2x+1+ε > 0

Δ = 4 - 4*(-ε)= 4ε

x = 2 ± √(4ε)

x_1,2 = 2 ± 2√ε/2

x₁ = 1 - √ε

x₂ = 1 + √ε

x²-2x+1 < ε

x²-2x+1+ε > 0

∀x ∈ ℝ

I(ε)=[1-√ε ; 1+√ε[

N° 111

lim_x→0 (x³-1) = -1

|³⁄_x -1 -(-1)| < ε

|³⁄_x| < ε ⇨ ³⁄_x> -ε

³⁄_x < ε

⇨ 3 > 3 - ε

³⁄_√ε 0 √ε

³⁄_√ε x > ³⁄_√ε

I(0)

N° 112

lim_x→0 (x²⁄₂ -2) = -2

|^{x2⁄₂ 2 -(-2)| < ε}

|^{x2⁄₂| < ε ⇨ (x2⁄₂ - ε > x2 - ε}