Costante elastica molla di un blocco

Calcolo della costante elastica di una molla

Descrizione del problema

Una molla compressa di 5 cm spinge un blocco di massa m = 10 g su un piano inclinato di un angolo α = 30°, a partire dal suo punto più basso, verso la salita. Sapendo che il blocco percorre 1 m prima di fermarsi, calcolare la costante elastica della molla.

Fase iniziale: velocità iniziale

Appena la molla finisce di spingere il blocco esso inizia a percorrere con una certa velocità iniziale v₀ la salita del piano inclinato. Il blocco è dunque soggetto alla componente parallela al piano della forza di gravità che tenderà a frenarlo facendogli percorrere una certa distanza d. Prima di considerare questa fase del problema calcoliamo la velocità iniziale v₀, cioè quella impressa dalla molla.

Energia potenziale e cinetica

Quando la molla è compressa di una quantità (Δ)x essa avrà immagazzinato un’energia potenziale:

U = ¹/₂kΔx²

essendo k la sua costante elastica. Tutta l’energia potenziale verrà convertita in energia cinetica per il blocco appena rilasciato, per la conservazione dell'energia meccanica nella fase in cui agisce la molla. L'energia cinetica in questione si scrive:

K = ¹/₂mv₀²

Uguagliando le energie, U,

¹/₂mv₀² = ¹/₂kΔx²

si ottiene con qualche passaggio algebrico

v₀ = Δx √^k/_m

Movimento sul piano inclinato

Nella fase di salita lungo il piano inclinato la componente parallela al piano (direzione dell'asse delle x con verso positivo verso la salita) della forza peso P la possiamo scrivere come:

P_x = -P sin α

dove α è l’angolo di inclinazione del piano inclinato rispetto all’orizzontale. Si ha quindi:

P_x = -mg sin α

Usando la seconda legge della dinamica:

P_x = ma_x

da cui

a_x = − mg sin α

e

a_x = − g sin α

Equazioni del moto

Il moto, lungo l’asse delle x, è uniformemente decelerato, per cui valgono, con ovvie notazioni, le seguenti formule:

• v = v₀ + at
• x = x₀ + v₀t + 1/2 at²

In questo caso vogliamo considerare quando il blocco si ferma, cioè poniamo v = 0, inoltre poniamo per semplicità x₀ = 0 e indichiamo con x = d la distanza percorsa dal blocco prima di fermarsi. Si ha:

• 0 = v₀ + at
• d = v₀t + 1/2 at²

Calcolo del tempo e della distanza

Ricaviamo il tempo dalla prima equazione:

t = -_v0/_a

e lo sostituiamo nella seconda equazione:

d = -_v0/_a + 1/₂a_v0²/_a²

da cui

d = -_v0²/_a + 1/_2v0²/_a = - 1/_2v0²/_a

e, sostituendo il valore di a ottenuto prima, cioè

a_x = - g sin α

si ottiene

d = _v0²/_{2g sin α;}

Calcolo della costante elastica

All’inizio dello svolgimento avevamo ricavato la velocità iniziale v₀, impressa dalla molla, cioè

v₀ = Δx √^k/_m

Sostituendo questa espressione nell’equazione precedente per la distanza d si ottiene:

d = ^Δx2k/_{2mg sin α;}

Ricaviamo la nostra vera incognita, cioè la costante elastica della molla:

k = ^{2mgd sin α;}/_Δx²

Substituzione dei dati

Possiamo sostituire i dati forniti dal testo dell’esercizio. Convertiamoli prima in unità SI:

• Δx = 5 cm = 0.05 m
• m = 10 g = 0.01 kg
• α = 30°
• d = 1 m

Sostituendo nella formula per la costante elastica della molla, otteniamo infine:

k = ^{2 * 0.01 kg * 9.81 m/s2 * 1 m * sin 30°}/_{(0.05 m)²}