Collisione monodimensionale

Collisione monodimensionale

Urti

Collisione monodimensionale

Urti

Una sfera, di massa m₁ e velocità v₀, che si muove su di una guida rettilinea senza attrito, ne urta un’altra di massa m₂ inizialmente ferma. Sapendo che l’urto è perfettamente elastico, calcolare le velocità v₁ e v₂ delle due sfere subito dopo l’impatto, discutendo i risultati in funzione del rapporto delle loro masse μ = m₂/m₁.

Trattandosi di urto elastico, sono applicabili i principi di conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica secondo le equazioni:

{    m₁ v₀ = m₁ v₁ + m₂ v₂    (½) m₁ v₀² = (½) m₁ v₁² + (½) m₂ v₂²}

Posto m₂/m₁ = μ , dividendo ambo i membri per m₁ e semplificando si ottiene il sistema di 2° grado:

{    v₀ = v₁ + μ v₂    v₀² = v₁² + μ v₂²}          (1)

Scriviamo adesso le (1) nel modo seguente:

{    (v₀ − v₁) = μ v₂    (v₀ − v₁)(v₀ + v₁) = μ v₂²}          (2)

Elevando al quadrato la prima delle (2) e moltiplicando la seconda per μ, possiamo scrivere:

{    μ² v₂² = (v₀ − v₁)²    μ² v₂² = μ (v₀ − v₁)(v₀ + v₁)}          (3)

Dal confronto delle (3) otteniamo così l’equazione risolvente nell’unica incognita v₁ :

(v₀ − v₁)² − μ (v₀ − v₁)(v₀ + v₁) = 0

che può essere scritta nella forma:

(v₀ − v₁)[(v₀ − v₁) −μ (v₀ + v₁)] = 0                                      (4)

Applicando la legge di annullamento del prodotto, otteniamo, con qualche passaggio i valori di v₁:

• v₁ = v₀
• v₁ = ^v₀(1-μ)/_1+μ

Utilizzando infine la prima delle (2) deduciamo le soluzioni:

• v₁ = v₀                                                      (5)
  • v₂ = 0
• v₁ = ^v₀(1-μ)/_1+μ                           (6)
  • v₂ = ^2v₀/_1+μ

La soluzione (5) è evidentemente da scartare perché priva di significato fisico. In base ad essa infatti, la prima sfera, dopo l’urto, si muoverebbe con la stessa velocità di prima come se l’altra sfera fosse “trasparente” (infatti v₂ = 0). La soluzione accettabile è dunque la (6). Considerando noto e fisso il valore di v₀, discutiamo ora i risultati al variare del rapporto μ.

I casi interessanti sono:

• a) 0 < μ < 1     m₂ < m₁
• b) μ = 1     m₂ = m₁
• c) μ > 1     m₂ > m₁
• d) μ → 0     m₂ << m₁
• e) μ → ∞     m₂ >> m₁