Analisi probabilistica e teoria delle code - prova gennaio 2007

Analisi probabilistica e teoria delle code (corsi A e B)

Prova scritta d'esame del giorno 11-01-2007

Esercizio n°1

In un sistema informatico due processi (A e B) sono configurati in un rapporto produttore (A) - consumatore (B). Il processo A produce due tipi di oggetti diversi, A1 e A2, lavorando ad intermittenza (prima per un tipo e poi per l’altro) e ciclicamente. Gli oggetti prodotti vengono depositati tutti in un unico buffer intermedio, da cui il processo B effettuerà i prelievi successivamente.

Il tempo medio fra due produzioni consecutive di oggetti di tipo A1 è pari a 5 sec, mentre per il tipo A2 occorrono, in media, 10 sec.

Fissando l’attenzione sulla produzione dei soli oggetti di tipo A1:

1. Dopo aver motivato la scelta di una funzione di distribuzione per la variabile aleatoria “tempo tra due produzioni successive”, calcolare la probabilità che trascorrano meno di 2 sec fra due produzioni successive;
2. Calcolare la probabilità che trascorrano meno di 4 sec, posto che già ne siano passati 2 di secondi tra due produzioni successive;
3. Calcolare la probabilità che in 20 secondi vengano prodotti almeno 4 oggetti.

Analizzando un grandissimo numero di oggetti prodotti da A, è stato verificato che il 75% di questi corrisponde al tipo A1 e, dunque, il 25% al tipo A2:

4. Proporre una funzione di distribuzione per la variabile aleatoria “tempo di produzione del generico oggetto” (cioè prescindendo dal fatto che si tratti del tipo A1 o del tipo A2);
5. Prendendo, allora, in considerazione un lotto di 10 oggetti, proporre un modello per calcolare la probabilità che 2 di essi siano del tipo A2;
6. Sapendo che risultano inconsistenti il 5% degli oggetti A1 e il 2% degli A2, qual è la probabilità che un oggetto accertato come inconsistente appartenga al tipo A1?

-1

Il processo B preleva gli oggetti dal buffer ad un ritmo medio di 4 sec e inizia il processo di prelievo in corrispondenza di istanti di tempo completamente casuali.

7. Adottando una legge geometrica estesa per l’occupazione del buffer, di media pari a 1,5, esprimere la funzione di distribuzione della variabile aleatoria “tempo allo svuotamento del buffer”.

S’immagini di affiancare un secondo produttore, identico, al processo A, facendolo lavorare in parallelo.

-1

8. Sapendo che entrambi hanno un tasso di guasto pari a 2000 h^-1, ricavare le funzioni di distribuzione delle variabili aleatorie “tempo al primo guasto” e “tempo al guasto del sistema intero”.