Analisi probabilistica e teoria delle code - prova dicembre 2007

Analisi probabilistica e teoria delle code (corsi A e B)

Prova scritta d'esame del giorno 10-12-2007

Esercizio n°1

Il centro E-SOLUTION è dotato di 3 sistemi elettronici.

1) Sia p=0,1 la probabilità che uno qualunque dei sistemi elettronici venga fornito già guasto. Calcolare la probabilità che, scegliendo due sistemi a caso, ne risulti almeno uno funzionante.

Si supponga adesso che i tre sistemi siano composti da apparecchi indipendenti, identici, non riparabili e tutti λλ ≥- t funzionanti all’istante di messa in opera. La legge di guasto per ogni apparecchio è: f(t)= e, t 0 (con λ^-1=0,25 mesi). I sistemi differiscono per l’organizzazione degli apparecchi.

• Fissando l’attenzione sul primo sistema (sistema composto da un solo apparecchio) [Figura a]:

2) Calcolare la probabilità che il guasto si verifichi fra il secondo ed il terzo mese di vita;

3) Applicare la proprietà di assenza di memoria per calcolare la probabilità che il sistema si guasti entro 4 mesi, considerato che sta già funzionando da 1 mese;

4) Ricalcolare la probabilità richiesta al punto precedente senza applicare la proprietà di assenza di memoria.

• Fissando l’attenzione sul secondo sistema (sistema con un apparecchio attivo e due apparecchi di riserva che non possono guastarsi quando inattivi; la commutazione sulla prima riserva riesce sempre, la commutazione sulla seconda riserva riesce con probabilità p) [Figura b]:

5) Scrivere l’espressione della funzione di distribuzione “tempo al guasto del sistema”;

6) Immaginando di potersi permettere la ripetizione dei tentativi (indipendenti) di commutazione sulla seconda riserva ed assumendo una probabilità di successo al generico tentativo pari a 0.7, calcolare la probabilità che la commutazione riesca entro il 3° tentativo.

• Fissando l’attenzione sul terzo sistema (due apparecchi sono organizzati in serie; ad essi è affiancato un apparecchio di riserva che non può guastarsi quando inattivo, nell’ipotesi di commutazione perfetta) [Figura c]:

7) Ricavare la funzione di distribuzione “tempo al guasto del sistema”.

Figura a Figura b Figura c

A A AA A ApA

Quesito finale

Data la funzione: ∞ n nx x∑≡ += xg (x) e con x>0, si chiede di proporre una f(x) che sia una funzione di densità, a partire dalla g(x).

E ricordando che n!n! =n 0