Analisi matematica I - limiti e sviluppi asintotici (1)

Esercizi su calcolo di limiti e sviluppi asintotici

Esercizio 1

Calcolare i seguenti limiti (sia attraverso opportune manipolazioni algebriche e riconducendosi ai limiti notevoli per sin, cos che con gli sviluppi asintotici):

• lim_x→0 (1 - cos x) / (1 - cos x²)
• lim_x→0 (1 - (cos x)³) / (sin x)²
• lim_x→1 sin(πx²) / x - 1
• lim_x→0 (1 - cos(3x))² / x²(1 - cos x)
• lim_x→0 (1 + sin x - cos x) / 1 - sin x - cos x

Esercizio 2

Mostrare o confutare le seguenti affermazioni:

• sin √x ∼ √x² + √x³
• sin x - tan x ∼ x³
• sin(2x) - 2 sin x ∼ o(x²), x → 0.
• sin(2x) - 2 sin x → o x³.
• 1 - 2 cos (x + π/3) → o x.

Esercizio 3

Calcolare i seguenti limiti (sia attraverso opportune manipolazioni algebriche e riconducendosi ai limiti notevoli):

• lim_x→0 sin(5x) / (x log(1+4x))
• lim_x→0 log cos x / √1 + x² - 1
• lim_x→0 √1 + x + x² - 1 / sin(4x)
• lim_x→0 cosh x - 1 / x²
• lim_x→0 sinh x / x
• lim_x→0 e^sin(3x) - 1 / x
• lim_x→0 log(2 - cos(2x)) / x²
• lim_x→0 √1 + sin(3x)² - 1 / log(1 + tan(2x))
• lim_x→0 √1 + x² - 1 / 1 - cos x
• lim_x→0 ³√1 + x - 1 / x

Esercizio 4

Mostrare o confutare le seguenti affermazioni:

• e^x - cos x ∼ o x.
• √1 + x³ - 1 → o x³.
• √x⁴ + (sin x)² ∼ o x.
• cos x - ³√cos x → o x².

Esercizio 5

Determinare l'ordine di infinitesimo per x → x₀ per le seguenti funzioni:

• f(x) := x³ - 3x + 2, dove x₀ = 1.
• f(x) := x² + sin(3x), dove x₀ = 0.