Analisi matematica I - esercizi limiti e sviluppi asintotici (seconda parte)

Esercizi su calcolo di limiti e sviluppi asintotici

Esercizio 1

Determinare l'ordine di infinitesimo per x → x₀ per le seguenti funzioni.

f(x) := _{√(3^x - 1)}⁄^{√sin x}, dove x₀ = 0+.

f(x) := x² - 2x + sin (π⁄2 x), dove x₀ = 1.

Esercizio 2

Determinare l'ordine di infinito per x → x₀ per le seguenti funzioni.

f(x) := _{x³ + 2x + 1}⁄^{arctan x}, dove x₀ = +∞.

f(x) := ₁⁄^{√x3 + x2 + x}, dove x₀ = 0+.

Esercizio 3

Calcolare i seguenti limiti utilizzando gli sviluppi asintotici.

• lim_{x→+∞   x⁴ + 10x³ - 2x}⁄^{4x4 + 1000x},
• lim_{x→0   x³ + x²(sin x)² + sin x²}⁄^{x4 + x3 + x sin x},
• lim_{x→0   log(1 + x²) + x² + (tan x)² + sin x}⁄^{x3 + log(1 + x)}.
• lim_{x→0+   (sin x)³ + x^2⁄3}⁄^{√1 - cos x + (tan x)2 + arctan x},
• lim_{x→0   log(2 - cos(2x))}⁄^{(log(sin(3x) + 1))2}.

Esercizio 4

Determinare, al variare di α > 0, l'ordine di infinitesimo per x → 0+ della funzione.

f(x) := e^{½ tan x} - 1 - sin(x^α).

Esercizio 5

Ricordato che cosh ξ = 1 + _ξ²⁄² + o(ξ²) per ξ → 0, determinare, al variare di α > 0, l'ordine di infinitesimo per x → 0+ della funzione.

f(x) := ₁⁄² cosh(e^x - 1) - cos(x^α).