Esercizi su numeri complessi
Forma algebrica
Esercizio 1
Determinare i valori di a ∈ ℝ tali che il numero \( z = \frac{i}{a+1-ia} \) sia immaginario.
Esercizio 2
Risolvere le seguenti equazioni in ℂ:
\( z^2 + 2\bar{z} = |z|^2, \quad \bar{z} \text{Im}z - z|z| = 0, \quad i\bar{z}(z+1) - |z| \text{Re}z = 0. \)
Esercizio 3
Disegnare, nel piano di Gauss, i seguenti insiemi:
\( \left \{ z \in \mathbb{C} : \frac{z-4}{z+4} \geq 3 \right \}, \quad \left \{ z \in \mathbb{C} : \text{Im} \left ( \frac{i(z-3)}{z-1} \right ) 1, \, \text{Re}(z) > 0, \, \text{Im}(z) \)
Esercizio 4
Trovare i numeri complessi \( z \in \mathbb{C} \) tali che
\( \begin{cases} z^2\bar{z} - \bar{z}z = -\bar{z}, \\ (z^3 + \bar{z}^3)^3 = 1. \end{cases} \)
Esercizio 5
Sia \( \alpha \in \mathbb{R} \) e \( S_{\alpha} = \{ z \in \mathbb{C} : z\bar{z} + (-1+i)z + (-1-i)\bar{z} + \alpha \)
Esercizio 6 (⋆)
Consideriamo l'equazione
\( |z|^2z^2 + \text{Re}(z) \, \text{Im}(z) - |z|^2\bar{z} = 0, \quad z \in \mathbb{C}. \)
Osservato che \( z = 0 \) è soluzione, determinare tutte le soluzioni \( z \neq 0 \) dell'equazione (cominciare a sostituire \( z=x+iy \) e discutere attentamente tutti i casi possibili...).
Forma trigonometrica
Esercizio 7
Risolvere, in ℂ, le seguenti equazioni:
- i) \( z^8 = i|z||z|. \)
- ii) \( 9i\bar{z} = 16z. \)
- iii) \( z|z|^2 - i4\bar{z} = 0. \)
- iv) \( 8z^3|z| = \bar{z}. \)
- v) \( \bar{z}^3|z|^2 = 2z^4. \)
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