I numeri complessi
In ℝ le eq. di II grado con ∆ < 0 non hanno soluzione ⇒ necessità di ampliare ℝ ⇒ ℂ.
Det. si definisce numero complesso (z) una coppia ordinata di numeri reali z = (a,b) a,b ∈ ℝ.
Oss. z1 = (a,b) z2 = (c,d) → z1 = z2 se e solo se a = c ∧ b = d.
Det. sono z1 = (a,b) e z2 = (c,d) due numeri complessi.
Somma e prodotto
Somma → z1 + z2 = (a,b) + (c,d) := (a+c, b+d).
Prodotto → z1 · z2 = (a,b)·(c,d) := (ac - bd , ad + bc).
Soddisfano le proprietà commutative, associative e distributive.
Inoltre:
- Z0 = (0,0) è elemento neutro per la somma;
- Z0 = (1,0) “ “ il prodotto;
- Z1 = (-a, -b) è l’opposto di z1 = (a,b) [ z1 + z1 = (0,0) ];
- Se (a,b) ≠ (0,0) esiste l’inverso z1 = (a⁄a2+b2, -b⁄a2+b2) di z1 = (a,b) [ z1 · z1 = (1,0) ].
Teo. ℂ è un campo numerico come ℝ e ℚ [proprietà R1 e R2].
Oss. insiemisticamente parlando, ℂ ≡ ℝ2 = ℝ × ℝ.
Possibile rappresentazione su un piano cartesiano.
I numeri complessi ℂ
In ℝ le eq. di II grado con Δ < 0 non hanno soluzione ⇒ necessità di ampliare ℝ ⇒ ℂ.
Det. Si definisce numero complesso (z) una coppia ordinata di numeri reali z = (a,b) a,b ∈ ℝ.
Oss. z1 = (a,b) z2 = (c,d) → z1 = z2 se e solo se a = c ∧ b = d.
Det. Sono z1 = (a,b) e z2 = (c,d) due numeri complessi.
Operazioni tra numeri complessi
Somma z1 + z2 = (a,b) + (c,d) := (a+c, b+d).
Prodotto z1 · z2 = (a,b) · (c,d) := (ac - bd , ad + bc).
Soddisfano le proprietà commutative, associative e distributive.
Inoltre:
- Z0 = (0,0) è elemento neutro per la somma;
- Z0 = (1,0) " " " il prodotto;
- Zi = (-a,-b) è l’opposto di zi = (a,b) [ zi + zi = (0,0) ];
- Se (a,b) ≠ (0,0) esiste l’inverso zi = ( a/a2+b2 , -b/a2+b2 ) di zi = (a,b) [ zi · zi = (1,0) ].
Teo. ℂ è un campo numerico come ℝ e ℚ [ proprietà R1 e R2 ].
Oss. Insiemisticamente parlando, ℂ = ℝ2 = ℝ × ℝ.
Possibile rappresentazione su un piano cartesiano.
La somma può anche essere interpretata coi vettori.
ℝ ⊂ ℂ ⇨ i numeri immaginari del tipo (a,0) sono i numeri reali in ℝ x {0ℝ}.
ℝ è un sottocampo di ℂ.
Unità immaginaria
(0,1)2 = (0,1) ⋅ (0,1) = (0⋅0 - 1 ⋅ 1 , 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0) = (-1,0).
Abbiamo provato che ∃ un numero complesso il cui quadrato è -1. Ciò è impossibile in ℝ. Abbiamo ampliato ℝ.
Indichiamo i = (0,1) t.c. i2 = -1.
ℂ non è un campo ordinato.
Dimostrazione
Per assurdo pongo i > 0 (quindi condizione di ordinamento tra i e 0).
Allora -1 = i2 > 0 e quindi i3 = i2 ⋅ i = -1 ⋅ i = -i > 0.
Quindi: 0 = i + (-i) , ma i + (-i) > 0 ⟹ 0 > 0 assurdo!
Forma algebrica dei numeri complessi
(0,1)⦁(b,0) = (0⦁0, 0⦁b) = (0,b).
Quindi z = (a,b) = (a,0) + (0,1)(b,0) = a + ib.
a = Re z → parte reale.
b = Im z → parte immaginaria.
Quindi dati z1 = a + ib e z2 = c + id.
Somma z1 + z2 = (a + c) + i(b + d).
Prodotto z1⦁z2 = (a + ib)⦁(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac - bd) + i(ad + bc).
Confermano le regole precedentemente poste.
Coniugato e modulo
Det. dato z = a + ib si ha z̅ detto coniugato con parte reale uguale e parte immaginaria opposta → z̅ = a - ib.
Oss. 1) z̅̅ = z.
2) z̅ = z se b = 0 (quindi z ∈ ℝ).
Det. z = a + ib si ha |z| = √(a2 + b2) ( NO i ).
Oss. |z| = lunghezza che congiunge O con la punta del vettore. È sempre ≥ 0.
Proprietà dei numeri complessi
- Z + z̅ = 2⦁Re z.
- Z - z̅ = 2i⦁Im z.
- Z⦁z̅ = |z|2.
- Se z ≠ 0, allora 1/z = z̅ / |z|2.
Reciproco | dimostrazioni sulle slide.
- 5) |Re z| ≤ |z| e |Im z| ≤ |z|.
- 6) z1 ± z2 = z̅1 ± z̅2.
- 7) z1·z2 = z̅1·z̅2.
- 8) (1/z)̅ = 1/z̅ V z ≠ 0.
Teo. se z = a·i·b, allora:
- |z| ≥ 0 e |z| = 0 ⇔ z = 0.
- |z| = |z̅|.
- |z1·z2| = |z1|·|z2|.
- |z1 ± z2| ≤ |z1| ± |z2|.
Forma trigonometrica dei numeri complessi
ρ = raggio polare è uguale a |z|.
θ = angolo rispetto ad x. È chiamato anche arg(z).
Es. z = √3 + i.
Oss. 1) z̅ = ρ (cosθ - i·sinθ).
2) z1 = ρ1(cosθ1 + isinθ1) z2 = ρ2(cosθ2 + isinθ2).
z1 = z2 ⇔ ρ1 = ρ2 e ∃ k ∈ ℤ | θ1 = θ2 + 2kπ.
Prodotto, potenza e quoziente
La forma trigonometrica funziona bene per qst operazioni.
Teo. z1, z2 ∈ ℂ e non sono nulli | dimostrazione sulle slide.
Ip. z1 = ρ1(cosθ1 + isinθ1) e z2 = ρ2(cosθ2 + isinθ2).
Ts.: a) z1·z2 = ρ1·ρ2[ cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2) ].
b) z1/z2 = ρ1/ρ2[ cos (θ1 - θ2) + i sin (θ1 - θ2) ].
Det. z numero complesso. Dato n ∈ ℤ:
- 1 se n = 0.
- Z, z2, ..., zn se n > 0.
- 1/z, 1/z2, 1/zn se n < 0.
Teorema di de Moivre
Teo. Ip: z = ρ (cosθ + isinθ) | dimostrazione sulle slide.
Ts: zn = ρn[ cos(nθ) + i sin(nθ) ].
Fissato |z| = 1 = ρ , si ha z = cosθ + isinθ.
Moltiplicare un numero complesso per z comporta solo aggiungere θ al suo argomento.
Questa, geometricamente, è una rotazione. Se ρ ≠ 1, si ha anche una dilatazione o contrazione.
Rotazione.
Rotazione e dilatazione.
Forma esponenziale
ρ eiθ := ρ (cosθ + i sinθ).
Soddisfa le proprietà delle potenze.
θ = 0 ρei0 = ρe0 = ρ.
ρei(-θ) = ρ(cosθ - i sinθ) = ρ/cosθ + i sinθ = ρ(eiθ)-1 z → z̅.
Inoltre ρ1eiθ1 ρ2eiθ2 ρ1ρ2ei(θ1+θ2).
(ρeiθ)n = ρneinθ ∀n ∈ ℤ Teorema di de Moivre.
Radici nel piano complesso
Z numero complesso. n ∈ ℕ. w numero complesso si dice radice n-esima di z se wn = z.
z = ρ (cosθ + i sinθ).
∃ n radici n-esime distinte di z: ρ1/n (cos (θ + 2kπ/n) + i sin (θ + 2kπ/n)).
Se , è facile rappresentare sul piano le radici n-esime. Esse sono i vertici di un poligono regolare con n lati, di lato.
Teorema fondamentale dell’algebra
Un’equazione polinomiale della forma an.zn + an-1.zn-1+ … + a1.z + a0 = 0 ha esattamente n radici in ℂ.
z2 = 1 → z1=1 → z2 = -1.
z2 = -1 = |z2| = -1 , = π k=0,1.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
