Analisi matematica I - esercizi successioni numeriche (2)

Esercizi su successioni numeriche

(Estensioni per la somma)

Siano {a_n}, {b_n} ⊂ R, a_n → l₁, b_n → l₂. Allora

• Se l₁ = ±∞, l₂ ∈ R,   ⇒   a_n + b_n → ±∞,
• Se l₁ = +∞, l₂ = +∞,   ⇒   a_n + b_n → +∞,
• Se l₁ = -∞, l₂ = -∞,   ⇒   a_n + b_n → -∞.

Se l₁ = +∞ ed l₂ = -∞ nulla si può dire sul valore del limite.

(Estensioni per il prodotto)

Siano {a_n}, {b_n} ⊂ R, a_n → l₁, b_n → l₂. Allora

• Se l₁ = ±∞, l₂ ∈ R\{0},   ⇒   a_nb_n → ±sgn(l₂)∞,
• Se l₁ = ±∞, l₂ = ±∞,   ⇒   a_nb_n → +∞,
• Se l₁ = ±∞, l₂ = +∞,   ⇒   a_nb_n → -∞.

Se l₁ = ±∞ ed l₂ = 0 nulla si può dire sul valore del limite.

(Estensioni per il quoziente)

Siano {a_n}, {b_n} ⊂ R, a_n → l₁, b_n → l₂. Allora

• Se l₁ = ±∞, l₂ ∈ R\{0},   ⇒   a_n/b_n → ±sgn(l₂)∞,
• Se l₁ = ±∞, l₂ = 0⁺,   ⇒   a_n/b_n → +∞,
• Se l₁ = ±∞, l₂ = 0^-,   ⇒   a_n/b_n → -∞,
• Se l₁ ∈ R, l₂ = ±∞,   ⇒   a_n/b_n → 0.

Se l₁ = +∞ ed l₂ = +∞ nulla si può dire sul valore del limite. È da notare che con l₂ = 0⁺ intendiamo b_n → 0 e b_n > 0 per ogni n, od anche solo definitivamente, cioè per ogni n ≥ N₀. Similmente l₂ = 0^-.

Schema di buon senso

Il minimo di "buon senso" di cui si diceva sopra si può riassumere nel seguente schema:

• (±∞) + l = +∞,           (±∞) + (±∞) = ±∞
• (±∞)l = ±sgn(l)∞, (l ≠ 0),   (±∞)(±∞) = +∞,   (±∞)(ƒ∞) = -∞,
• ±∞/l = ±sgn(l)∞, (l ≠ 0),   ±∞/0⁺ = ±∞       ±∞/0^- = ƒ∞       l/±∞ = 0,

Esercizio 1

Calcolare i seguenti limiti:

• Lim_n→+∞ ((2 - 3n)/(2n + 1))³,
• Lim_n→+∞ (³√(n + a) - ³√n), (a > 0),
• Lim_n→+∞ (√(2n² + n - 1) - n√2),
• Lim_n→+∞ (((n + 1)!)²(2n)!)/(2((n + 1)!)!(n!)²),

Esercizio 2

Discutere, al variare del parametro reale α > 0, esistenza e determinare il valore dei seguenti limiti:

• Lim_n→+∞ (n^α - n + 1)/(n² + 1),
• Lim_n→+∞ √(n^α + 5) - √(n + 1),
• Lim_n→+∞ n^α (√(n + 1) - √n)

Infine ricordiamo la regola limitata×infinitesima = infinitesima:

{a_n} limitata, b_n → 0,   ⇒   a_nb_n → 0.