Analisi matematica I - esercizi successioni numeriche (2)

Esercizi su Successioni Numeriche

• (estensioni per la somma) Siano {a_n}, {b_n} ⊆ R, a_n → ℓ₁, b_n → ℓ₂. Allora

  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ ∈ R,     ⇒   a_n + b_n → ±∞,
  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ = ±∞,     ⇒   a_n + b_n → ±∞,
  • se ℓ₁ = −∞, ℓ₂ = −∞,     ⇒   a_n + b_n → −∞.

  Se ℓ₁ = ±∞ ed ℓ₂ = −∞ nulla si può dire sul valore del limite.

• (estensioni per il prodotto) Siano {a_n}, {b_n} ⊆ R, a_n → ℓ₁, b_n → ℓ₂. Allora

  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ ∈ R\{0},     ⇒   a_nb_n → ±sgn(ℓ₂)∞,
  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ = ±∞,     ⇒   a_nb_n → ±∞,
  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ = −∞,     ⇒   a_nb_n → −∞.

  Se ℓ₁ = ±∞ ed ℓ₂ = 0 nulla si può dire sul valore del limite.

• (estensioni per il quoziente) Siano {a_n}, {b_n} ⊆ R, a_n → ℓ₁, b_n → ℓ₂. Allora

  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ ∈ R\{0},     ⇒   ^a_n/_bn → ⇔ sgn(ℓ₂)∞,
  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ = 0⁺,     ⇒   ^a_n/_bn → ±∞,
  • se ℓ₁ = ±∞, ℓ₂ = 0^-,     ⇒   ^a_n/_bn → −∞,
  • se ℓ₁ ∈ R, ℓ₂ = 0     ⇒   ^a_n/_bn → 0.

  Se ℓ₁ = ±∞ ed ℓ₂ = ±∞ nulla si può dire sul valore del limite. È da notare che con ℓ₂ = 0⁺ intendiamo b_n → 0⁺ per ogni n, od anche solo definitivamente, cioè per ogni n ≥ N₀. Similmente ℓ₂ = 0^-.

  Il minimo di "buon senso" di cui si diceva sopra si può riassumere nel seguente schema:

  • (±∞) + ℓ = ±∞,    (±∞) + (±∞) = ±∞
  • (±∞)ℓ = ±sgn(ℓ)∞, (ℓ ≠ 0),    (±∞)(±∞) = ±∞,    (±∞)( −∞) = −∞,
  • ^±∞/_ℓ = ±sgn(ℓ)∞, (ℓ ≠ 0) ,    ^±∞/_0⁺ = ±∞,    ^±∞/_0^- = −∞,
  • ^ℓ/_±∞ = 0,

Esercizio 1

Calcolare i seguenti limiti:

1. lim_{n → +∞} ( ^{2 - 3n}/_{2n + 1} )³,

2. lim_{n → +∞} √n + a -³√n, (a > 0),

3. lim_{n → +∞} √2n² + n - 1 - n√2,

4. lim_{n → +∞} ^{((n + 1))!2(2n)!} /_{(2(n + 1))!((n)!)²};

Esercizio 2

Discutere, al variare del parametro reale a > 0 l’esistenza e determinare il valore dei seguenti limiti:

1. lim_{n → +∞} ^{na - n + 1}/_{n² + 1},
2. lim_{n → +∞} √n^a + 5 - √n + 1,
3. lim_{n → +∞} n^a √( √n + 1 - √n)

Infine ricordiamo la regola limiteata×infinitesima = infinitesima:

{a_n} limitata,   b_n → 0,   ⇒   a_nb_n → 0.