Analisi matematica I - le successioni numeriche (1)

Esercizi su successioni numeriche

A. Fondamenti

Una successione {a_n}_n∈ℕ è una funzione a : ℕ → ℝ dove a_n := a(n). Diciamo che

 ∃ ^lim_n→+∞ a_n = ℓ ∈ ℝ, ⇔ ∀ ε > 0, ∃N₀(ε) ∈ ℕ : |a_n - ℓ| ≤ ε, ∀n ≥ N₀(ε).

Si scrive anche a_n → ℓ.

Esercizio 1

Mostrare, usando la definizione, che

 ^lim_n→+∞       = 1,      = 1,      = 0,     = 1.

Si dice che

 ∃ ^lim_n→+∞ a_n = +∞, (−∞) ⇔ ∀K, ∃N₀(K) ∈ ℕ : a_n ≥ K, (a_n ≤ K), ∀n ≥ N₀(K).

Si scrive anche a_n → +∞(−∞).

Esercizio 2

Mostrare, usando la definizione, che

 ^lim_n→+∞ (n − √n − 1) = +∞,    ^lim_n→+∞   = +∞,    ^lim_n→+∞   = −∞,    ^lim_n→+∞   = −∞.

Si chiama sottosuccessione di una successione {a_n} una successione b_k = a_nk dove {n_k}_k∈ℕ ⊆ ℕ e n_k+1 > n_k. Si scrive {a_nk} ⊆ {a_n}. Alcune proprietà importanti legano una successione alle sue sottosuccessioni:

• se a_n → ℓ ∈ ℝ ∪ {±∞} allora per ogni sottosuccessione {a_nk} ⊆ {a_n} si ha che a_nk → ℓ.
• (criterio di non esistenza) se esistono due sottosuccessioni {a_nk}, {a_mk} ⊆ {a_n} tali che a_nk → ℓ₁, a_mk → ℓ₂ e ℓ₂ ≠ ℓ₁ allora ^lim_n→+∞ a_n.

Esercizio 3

Mostrare che le seguenti successioni non ammettono limite:

• a_n :=       non pari,
• a_n :=  (−1)ⁿ n²,  a_n := sin   ,
• a_n := (−1)ⁿ − (−1)ⁿ n².

Esercizio 4

Sapendo che n^α → +∞ per ogni α > 0 ed utilizzando le sottosuccessioni mostrare che

 ^lim_n→+∞   = +∞,  (α > 0),  ^lim_n→+∞      = +∞.

B. Regole di calcolo

Attraverso le regole di calcolo si può ricondurre il calcolo di limiti di espressioni composte attraverso operazioni algebriche a limiti delle singole parti costituenti. Abbiamo anzitutto le regole per i limiti finiti:

siano {a_n}, {b_n} ⊆ ℝ.

Se a_n → ℓ₁, b_n → ℓ₂, ℓ₁, ℓ₂ ∈ ℝ,  

• a_n ± b_n → ℓ₁ ± ℓ₂,
• a_n b_n → ℓ₁ℓ₂,
• ^a_n/_bn → ^ℓ₁/_ℓ2, se ℓ₂ ≠ 0.

Tali regole funzionano solo per i limiti finiti così come sono scritte. Tuttavia spesso ci si trova a dover fronteggiare casi nei quali tali regole non si possono applicare perché ci sono limiti infiniti coinvolti. Esistono una serie di estensioni a questi casi delle regole precedenti che possono essere facilmente ricordate e comprese con un minimo di buon senso: