Analisi matematica I - le successioni numeriche (1)

Esercizi su successioni numeriche

A. Fondamenti

Una successione {a_n}_n∈N è una funzione a : N → R dove a_n := a(n).

Diciamo che ∃ lim_n→+∞ a_n = ℓ ∈ R, ⇔ ∀ε > 0, ∃N₀(ε) ∈ N, : |a_n - ℓ| ≤ ε, ∀ n ≥ N₀(ε).

Si scrive anche a_n → ℓ.

Esercizio 1

Mostrare, usando la definizione, che lim_n→+∞ (1 + 1/2ⁿ) = 1,   lim_n→+∞ (n + 2)/(n + 1) = 1,   lim_n→+∞ (n + 2)/(n² + 3n) = 0,   lim_n→+∞ (n + √n)/(n - √n) = 1.

Si dice che ∃ lim_n→+∞ a_n = +∞, (-∞),   ⇔   ∀K, ∃N₀(K) ∈ N, : a_n ≥ K, (a_n ≤ K), ∀ n ≥ N₀(K).

Si scrive anche a_n → +∞(-∞).

Esercizio 2

Mostrare, usando la definizione, che lim_n→+∞ (n - √n - 1) = +∞,   lim_n→+∞ (n² + 1)/(n + 1) = +∞,   lim_n→+∞ (1 - n)/(1 + √n) = -∞,   lim_n→+∞ n/(1 - √n) = -∞.

Si chiama sottosuccessione di una successione {a_n} una successione b_k := a_nk dove {n_k}_k∈N ⊂ N e n_k+1 > n_k. Si scrive {a_nk} ⊂ {a_n}.

Alcune proprietà importanti legano una successione alle sue sottosuccessioni:

• Se a_n → ℓ ∈ R ∪ {±∞} allora per ogni sottosuccessione {a_nk} ⊂ {a_n} si ha che a_nk → ℓ.
• (Criterio di non esistenza) se esistono due sottosuccessioni {a_nk}, {a_mk} ⊂ {a_n} tali che a_nk → ℓ₁, a_mk → ℓ₂ e ℓ₁ ≠ ℓ₂ allora ∃lim_n→+∞ a_n.

Esercizio 3

Mostrare che le seguenti successioni non ammettono limite:

a_n := { 1, n pari; 1/n, n dispari }

a_n := (-1)ⁿn²,   a_n := sin nπ/4,   a_n := (-1)ⁿ - (-1)ⁿ².

Esercizio 4

Sapendo che n^α → +∞ per ogni α > 0 e utilizzando le sottosuccessioni mostrare che lim_n→+∞ ⁴√n⁵ + 1 = +∞,   lim_n→+∞ (n³ + n² - 2n + 1)^α = +∞, (α > 0),   lim_n→+∞ √n⁷ + 2n + 3 = +∞.

B. Regole di calcolo

Attraverso le regole di calcolo si può ricondurre il calcolo di limiti di espressioni composte attraverso operazioni algebriche a limiti delle singole parti costituenti.

Abbiamo anzitutto le regole per i limiti finiti: siano {a_n}, {b_n} ⊂ R.

Se a_n → ℓ₁, b_n → ℓ₂, ℓ₁, ℓ₂ ∈ R,   =>

a_n ± b_n → ℓ₁ ± ℓ₂,

a_nb_n → ℓ₁ℓ₂,

a_n/b_n → ℓ₁/ℓ₂, se ℓ₂ ≠ 0.

Tali regole funzionano solo per i limiti finiti così come sono scritte. Tuttavia spesso ci si trova a dover fronteggiare casi nei quali tali regole non si possono applicare perché ci sono limiti infiniti coinvolti.

Esistono una serie di estensioni a questi casi delle regole precedenti che possono essere facilmente ricordate e comprese con un minimo di buon senso: