Analisi Matematica 2 - esercizi

Serie di Fourier

f(x) = |x|, x ∈ [-π/2, π/2], T = π

Per prima cosa disegno il prolungamento della funzione. Da come si sa, come spiegato prefericamenti e come si verifica se f(x) = f(-x) = x, la funzione è pari, perciò l'unico coefficiente di Fourier da considerare è a₀.

a₀ = (2/π) ∫₀^π/2 f(x) · dx = (4/π) ∫₀^π/2 x · dx = (4/π) · (x²/2) |₀ = π/2

Esperimento scritto analisi matematica 2

Serie di Fourier g(x) = |x|, x ∈ [-π/2, π/2]

Per prima cosa occupo il prolungamento della funzione. Da come si deduce graficamente e come si verifica, g(x) = g(-x) = x, la funzione è pari, pertanto l'unico coefficiente di Fourier da considerare è a₀.

a₀ = \(\frac{2}{\pi}\) ∫^π/2₀ g(x) dx => \(\frac{4}{\pi}\) ∫^π/2₀ x dx => \(\frac{4}{\pi}\) \(\frac{x^2}{2}\)^π/2₀ => a₀ = \(\pi/2\)

Calcolo di a_n

a_n = ²/_π ∫ _-π/2^π/2 x cos 2ux dx = ⁴/_π ∫ ₀^π/2 x cos 2ux

Risolvendo l'integrale indefinito per parti:

∫ x cos 2ux = x sin 2ux / 2u - 1 / 2u ∫ sin 2ux => = ^b | ∫ [ x sin 2ux / 2u + 1 / 4u² cos 2ux] ₀

Sostituendo ottengo ^b/_π [ 0 - a sin au / 4u + cos au / 4u² - 1 / 4u²] - 0

Ho seno in entrambi, e ottengo alla fine: a_n = [ cos u - 1 ]^b/_au = Quindi 1 / 4u² [ cos ( 1 )^u -1 ] | u per 0

La serie di Fourier

La serie di Fourier per u dispari vale:

f(x) = ¹/₄ - ²/_π - ^∑/_ⁿ/8 - 1 / 2 * cos 2 (2u-1) x = Qu -1²

La serie di funzione è continua e explore e f(x) in tutto R, dunque converge unif. f in tutto R e quindi in [-π/2 , π/2]

Residui e singolarità

∫f(z) = ^e2/_z-3 + 1/(z-1)²

Per prima cosa studio le singolarità. Le in questo caso sono: z₀ = 3, z₁ = 1

Passo quindi per stabilire se si tratta di singolarità eliminabili, di tipo polo oppure non ord.

lim_z->3 ^e2/_z-3 + 1/(z-1)² = + ∞, 1/(z-1)² = + ∞

Singolarità di tipo polo. Stabilisco l'ordine del polo:

lim_z->3 (z-3) ^e2/_z-3 = e², polo semplice

Calcolo il residuo che nel caso di polo semplice vale:

Res {f(z), z=3} = lim_z->3 (z-3) ^e2/_z-3 = e²

[In alternativa per poli semplici: lim_z->3 f(z₀)/h'(z₀)]

Studio la seconda singolarità:

lim_z->1 ✖ ✖ lim_z->1 ^e2/_z-3 + 1/(z-1)² = + ∞

Avele in questo caso si tratta di un polo, ovvero, si calcola:

lim_z→1 (z/1)² = 1 ≠ 0 per p=2

Così scrivo sulla formula:

Res[f₂(z),1] = lim_z→1 d/dz [(z/1)² · 1/(z/1)²] = 0

Il residuo del secondo polo vale zero

Calcolo infine l’integrale lungo la circonferenza di raggio 4

∮_δf f₀(z) = 2πi [Res(f₁(z₁),3) + Res(f₂(z),1)] == 2πi [e³ + 0] = 2e³πi

Definizione problema di Cauchy

Il problema di Cauchy è un argomento centrale nello studio delle equazioni differenziali. Esso infatti consiste nel trovare la soluzione di un'equazione differenziale di ordine n.

Lo si può scrivere come:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y^(n-1)(x))

O anche come:

{ y⁽ⁿ⁾ = f(x, y(x), y'(x), y''(x), y⁴(x), ..., y^(n-1)(x)) y(x₀) = y₀ y'(x₀) = y₁ ... y^(n-1)(x₀) = y_n-1}

Il problema di Cauchy, per esempio, trova applicazione nelle.

Definizione integrale curvilineo

Sia Γ una curva chiusa, sia f una funzione definita con Γ che unisce due punti a e b

Considerando z(t) = x(t) + i y(t)

Si definisce l'integrale curvilineo un integrale del tipo:

∫ _a ^b f(x(t) + i y(t))[x'(t) + i y'(t)]

Scomponendo

∫ _a ^b [u(x(t) + i y(t)) + v(x(t) + i y(t))]'

quindi

∫ _a ^b u dx + i v dy + i ∫ _a ^b v dx + i u dy

Enunciato teorema integrale generale

1. Considerato una equazione lineare omogenea L(y) = 0 di passo n, l'integrale generale può essere scritto nella forma: ψ(x) = C₁y₁ + ... + C_ny_n
2. L'enunciato del Teorema dice che (y₁-y_n è integrale linearmente ind. p. x L(y) = 0 (l'integrale generale può essere scritto come ψ(x) ψ(x) = C₁y₁ + ... + C_ny_n
3. Siano y₁-y_n n integrali linearmente indipendenti di y L(y) = 0 allora è verificato che (e viceversa) che l'integrale generale può essere scritto come: ψ(x) = C₁y₁ + ... + C_ny_n

Condizione necessaria di Cauchy-Riemann

Sia f: A ⊆ ℂ → ℂ

z₀ = x + iy ∈ A (f derivabile in z₀) ⇒{ μ, ν hanno derivate parziali continue in (x₀, y₀)

2) { μ_x = ν_y

μ_y = −ν_x

Si verifica inoltre che:

f'(z₀) = μ_x(x₀, y₀) + iν_x(x₀, y₀) == ¹/_i[μ_y(x₀, y₀) + iν_y(x₀, y₀)]

Considerando dunque la funzione olomorfa e sapendo che:

Δf = f(z + Δz) - f(z)

Δμ = μ(x₀ + Δx, φ₀ + Δy) - μ(x₀, ιy₀)

Δν = ν(x₀ + Δx, ψ₀ + Δy) - ν(x₀, ιy₀)

Considera dunque per primo caso il rapporto incrementale:

lim_Δz→0 Δz = Δx + iΔy

Δx + iΔy = a + ib

Ovviamente il limite tra parte reale e immaginaria in particolare

lim_Δx→0 Re (Δu+iΔv)/(Δx+iΔy) = a

lim_Δy→0 Im (Δu+iΔv)/(Δx+iΔy) = b

Fisso ora Δy=0,

lim_Δx Δu+iΔv / Δx → Δu/Δx + iΔv/Δx

ponendo al limite:

lim_Δx→0 u(x₀+Δx,y₀) - u(x₀,y₀) / Δx = a = ∂u/∂x

lim_Δx→0 v(x₀+Δx,y₀) - v(x₀,y₀) / Δx = b = ∂v/∂x

Fisso ora Δx=0,

Δu+iΔv / iΔy → 1/iΔu/Δy + Δv/Δy → iΔu/Δy + Δv/Δy

penso al limite:

lim_Δy→0 v(x₀,y₀+Δy) - v(x₀,y₀) / Δy = a = ∂v/∂y

lim_Δy→0 u(x₀,y₀+Δy) - u(x₀,y₀) / -Δy = b = -∂u/∂y

Poiché _∂v/_∂y = a e _∂u/_∂x = a, un segno di _∂u/_∂x = _∂v/_∂y

Inoltre _∂v/_∂x = b e -_∂u/_∂y = b, quindi _∂u/_∂y = -_∂v/_∂x

Sono attraverso dunque le cond. di Cauchy-Riemann e u, v sono deriv. parziali in (x_o, y_o), Inoltre:

f'(z) = _∂u/_∂x + i_∂v/_∂x = _∂v/_∂y - i_∂u/_∂y